Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de latão, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 15 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1,5 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 1 m, alumínio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 100 N·md = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado transmite 50 kW a 1800 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M₀ = 60 kN·m em x = 1 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor M_x logo à direita do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mM₀ = 60 kN·m no sentido horário, em 1 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 8 mP = 55 kN em 7 mw = 6 kN/m de 0 a 8 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 200 mm × 200 mm tem um furo circular de diâmetro 60 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 70 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 200 mmd = 60 mmcentro do furo: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 50 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mmM = 50 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 100 MPa e τₓᵧ = −10 MPa, com σ_z = 0. Encontre a tensão de cisalhamento máxima absoluta τ_abs no ponto (considerando todos os planos em três dimensões).

σ_x = 160 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 20 MPa, σᵧ = 10 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 30° no sentido horário a partir do eixo x.

σ_x = 20 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a rotação θ_A da viga no apoio A, em radianos.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 75 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/250. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 3 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 75 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (aço)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 35 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 35 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 141,5 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 10·1000/706,9 = 14,15 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for latão = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 14,15/100000 = 0,0001415 = 141,5 µε

Resposta

ε = 141,5 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 1,721 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 30,56 MPa

σ₂ = 74,6 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 30,56·1500/70000 = 0,6548 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 74,6·1000/70000 = 1,066 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,721 mm

Resposta

δ = 1,721 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 2,702 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(80000·79522) = 0,04716 rad

φ = 0,04716·180/π = 2,702°

Resposta

φ = 2,702°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 22,52 MPa

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Momento polar de inércia

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 265258·20/235619 = 22,52 MPa

Resposta

τ_max = 22,52 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 48 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.

Reações de apoio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: R_B·L − M₀ = 0. Equilíbrio vertical: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/5 = 12 kN (para cima)

R_A = −R_B = −12 kN (para baixo)

Corte logo à direita do binário

A parte esquerda agora contém R_A e o binário.

M_x = R_A·a + M₀ = −12·1 + 60 = 48 kN·m

Resposta

M_x = 48 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 79,44 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·7 + 6·8·4

R_B = 577/8 = 72,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 103 − 72,13 = 30,88 kN

Onde V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 30,88/6 = 5,146 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 30,88·5,146 − 6·5,146²/2 = 79,44 kN·m

Resposta

M_max = 79,44 kN·m

Ele ocorre em x = 5,146 m a partir de A.

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 130 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (40000·100 − 2827·70)/(40000 − 2827) = 102,3 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·200³/12 + 40000·−2,282² = 133,5 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−32,28² = 3,583 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 130 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 130 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 164 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

alma: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·227,5 + 3080·110)/4580 = 148,5 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 100·15³/12 + 1500·(227,5 − 148,5)² = 9,394 × 10⁶ mm⁴

alma: 14·220³/12 + 3080·(110 − 148,5)² = 1,698 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,394 × 10⁶ + 1,698 × 10⁷ = 2,638 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 235 − 148,5 = 86,52 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·86,52/2,638 × 10⁷ = 164 MPa

Resposta

σ_topo = 164 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_abs = 80,81 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Em três dimensões a tensão de cisalhamento máxima absoluta é (σ_max − σ_min)/2 considerando as três tensões principais; no estado plano de tensão a terceira é zero.

Tensões principais no plano

C = 130 MPa, R = √(30² + (−10)²) = 31,62 MPa

σ₁ = 161,6 MPa, σ₂ = 98,38 MPa, σ_z = 0

O maior dos três círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(63,25, 161,6, 98,38)/2 = 80,81 MPa

Resposta

τ_abs = 80,81 MPa

Aqui o círculo fora do plano governa: o máximo absoluto é maior que o máximo no plano R.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 69,46 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 15 + 5·0,5 + −60·−0,866 = 69,46 MPa

Resposta

σ_θ = 69,46 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: θ_A = 0,02406 rad

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). A rotação θ = dv/dx é a primeira integral de M/(EI); em unidades consistentes ela sai em radianos.

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Rotação na extremidade

θ_A = wL³/(24EI) = 2·3000³/(24·9,35 × 10¹⁰) = 0,02406 rad

Resposta

θ_A = 0,02406 rad

Isso equivale a 1,379°.

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 182,6 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·14) = 3,806 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·3,806 × 10⁷/75)^1/3 = 182,6 mm

Resposta

h_req = 182,6 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 35,81 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/4200² = 35808 N = 35,81 kN

Resposta

P_cr = 35,81 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 38,84 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·35000 = 70000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·1050²/(π³·70000))^(1/4) = 38,84 mm

Resposta

d = 38,84 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 108,1, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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