Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 40 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de cobre (diâmetro externo 120 mm, diâmetro interno 70 mm, E = 120 GPa). Ambos têm 600 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 50 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 50 kNbarra: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 90 kNtrecho 1: Ø35 mm, 1 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio com 2,5 m de comprimento suporta um torque de 750 N·m. O ângulo de torção entre suas extremidades não pode passar de 3°. Encontre o menor diâmetro d que atende a esse limite.

T = 750 N·mL = 2,5 mG = 26 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão com diâmetro 60 mm está fixo em A. Um torque de 200 N·m atua em B, a 0,8 m de A, e um torque de 500 N·m no sentido oposto atua na extremidade livre C, 0,8 m adiante. Encontre o módulo do ângulo de torção φ_C da extremidade C, em graus.

d = 60 mmT_B = 200 N·mT_C = 500 N·mAB = 0,8 mBC = 0,8 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 0,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mw = 5 kN/m de 0 a 6 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

55 kN @ 12 m10 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 150 mm de largura e 16 mm de espessura, altura total de 280 mm e alma de 6 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 20 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão máxima σ_max na seção.

B = 150 mmH = 280 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mmM = 20 kN·m

σ_max = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 120 MPa e σᵧ = 60 MPa. Até que valor a tensão de cisalhamento τ_xy (em módulo) pode chegar antes que a maior tensão principal atinja 175 MPa?

σ_x = 120 MPaσ_y = 60 MPaσ₁ = 175 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um tanque cilíndrico de parede fina com diâmetro interno de 1200 mm e espessura de parede de 6 mm contém gás a uma pressão manométrica de 0,5 MPa. Ele é feito de chapa soldada ao longo de uma costura helicoidal a 35° do eixo do cilindro. Encontre o módulo da tensão de cisalhamento |τ_n| que atua ao longo da costura de solda.

D = 1200 mmt = 6 mmp = 0,5 MPaα = 35°

|τ_n| = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a rotação θ_A da viga no apoio A, em radianos.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas iguais P nos terços do vão (a L/3 de cada apoio). Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 18 kNL = 4 mE = 200 GPa (aço)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (aço)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (aço)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,02616 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·7461 = 1,147 × 10⁹ N

Encurtamento

δ = 50000·600/1,147 × 10⁹ = 0,02616 mm

Resposta

δ = 0,02616 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 447,6 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 93,54 MPa

σ₂ = 447,6 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 447,6 MPa

Resposta

σ_max = 447,6 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: d = 61,2 mm

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar necessário

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·2500/(26000·0,05236) = 1,377 × 10⁶ mm⁴

Diâmetro

d = (32J/π)^1/4 = 61,2 mm

Resposta

d = 61,2 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

4.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 0,739 °

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 200 = 300 N·m

Torção de cada trecho

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 300000·800/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,004837 rad

φ_BC = 500000·800/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,008061 rad

Torção da extremidade C

φ_C = 0,004837 + 0,008061 = 0,0129 rad → |φ_C| = 0,739°

Resposta

φ_C = 0,739°

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 6,875 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Corte em x = 0,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 15·0,5 − 5·0,5·0,25 = 6,875 kN·m

Resposta

M_x = 6,875 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 12,5 kN, R₂ = 122,5 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 5, M_C = −30, M_D = −105, M_E = −220 kN·m, M_F = −110, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = −220 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 38,16 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

alma: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·285 + 3360·140)/4360 = 173,3 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 100·10³/12 + 1000·(285 − 173,3)² = 1,249 × 10⁷ mm⁴

alma: 12·280³/12 + 3360·(140 − 173,3)² = 2,567 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,249 × 10⁷ + 2,567 × 10⁷ = 3,816 × 10⁷ mm⁴ = 38,16 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 38,16 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_max = 30,65 MPa

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 280 − 2·16 = 248 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·280³ − 144·248³)/12

I_x = 9,136 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

y = 140 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·140/9,136 × 10⁷ = 30,65 MPa

Resposta

σ_max = 30,65 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_xy = 79,53 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio necessário

C = (120 + 60)/2 = 90 MPa

R = σ₁ − C = 175 − 90 = 85 MPa

Tensão de cisalhamento

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 30²) = 79,53 MPa

Resposta

τ_xy = 79,53 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: |τ_n| = 11,75 MPa

Tensões na parede

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 0,5·600/6 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Transforme para a costura

Tome x ao longo do eixo (σ_a) e y na direção circunferencial (σ_h). A normal da costura forma 90° − α com o eixo.

|τ_n| = (50 − 25)·sin 35°·cos 35° = 11,75 MPa

Resposta

|τ_n| = 11,75 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: θ_A = 0,002435 rad

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). A rotação θ = dv/dx é a primeira integral de M/(EI); em unidades consistentes ela sai em radianos.

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Rotação na extremidade

θ_A = wL³/(24EI) = 2·3000³/(24·9,24 × 10¹¹) = 0,002435 rad

Resposta

θ_A = 0,002435 rad

Isso equivale a 0,1395°.

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 5,679 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 18000 N, L = 4000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Uma carga em L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm

δ₁ = 2,84 mm

Some as duas cargas

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 5,679 mm

Resposta

δ_max = 5,679 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 2,481 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·5000 = 10000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/10000² = 2481 N = 2,481 kN

Resposta

P_cr = 2,481 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 21,93 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Resposta

σ_cr = 21,93 MPa

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