Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal
σ = F/A
Deformação
ε = ΔL/L
Lei de Hooke
σ = E·ε
Alongamento
ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica
εT = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento
τ = T·r/J
Eixo maciço
J = πd⁴/32
Eixo vazado
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção
φ = TL/(GJ)
Potência
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
  2. Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
  3. Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
  4. Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro
C = (σx + σy)/2
Raio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensões principais
σ1,2 = C ± R
Direção principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
  4. Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia
Ø 20 mmAlumínio3 mP = 35 kN

Encontre a deformação axial ε na barra de alumínio, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 20 mmL = 3 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Tensão e deformação axialDifícil
40 kN12400 mm500 mmØ40Ø40σ2​ = ?

Um trecho de aço (diâmetro 40 mm, comprimento 400 mm, E = 200 GPa) e um trecho de latão (diâmetro 40 mm, comprimento 500 mm, E = 100 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 40 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ2 no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatrecho 2: latão, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.Torção de eixosMédia
d1​ = 30 mmd2​ = 20 mmT = 200 N·mABC2,5 m3 m

Um eixo maciço escalonado de latão está fixo em A. O trecho AB tem diâmetro 30 mm e comprimento 2,5 m; o trecho BC tem diâmetro 20 mm e comprimento 3 m. Um torque de 200 N·m atua na extremidade livre C. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τmax no eixo.

T = 200 N·md1 = 30 mm, L1 = 2,5 md2 = 20 mm, L2 = 3 m
τmax = MPa
4.Torção de eixosDifícil
Tdo​ = 60 mm, di​ = 36 mm

Um eixo vazado transmite 75 kW a 1500 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τmax no eixo.

P = 75 kWN = 1500 rpmdo = 60 mmdi = 36 mm
τmax = MPa
5.Esforço cortante e momento fletorMédia
P1​ = 70 kNP2​ = 35 kNABC3 m1 m1,5 m

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1,5 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P1 entre os apoios e uma carga concentrada P2 em C. Encontre o esforço cortante Vx logo à esquerda do apoio B. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5,5 mP1 = 70 kN em 3 mP2 = 35 kN em 5,5 mapoios em x = 0 e x = 4 m
Vx = kN
6.Esforço cortante e momento fletorDifícil
10 kN/m40 kN25 kN15 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

40 kN @ 0 m25 kN @ 6 m15 kN @ 2 m10 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Centroide e momento de inérciaMédia
2402024018xdimensões em mm

Encontre o momento de inércia Ix da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

bf = 240 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide e momento de inérciaDifícil
150 mm200 mm80 mm60 × 50xIx​ = ?

Uma placa de 150 mm × 200 mm tem um recorte retangular de 60 mm de largura e 50 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 80 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 200 mmrecorte: 60 × 50 mmcentro do furo: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia
σx​ = 50σy​ = −10τxy​ = −60MPa

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 50 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θp do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σx = 50 MPaσy = −10 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil
σx​ = 140σy​ = 70τxy​ = 20MPa

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 140 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σθ em um plano cuja normal está girada 15° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σx = 140 MPaσy = 70 MPaτxy = 20 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.Deflexão da vigaMédia
w = 15 kN/mδL = 2 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δmax, no meio do vão.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alumínio)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Deflexão da vigaDifícil
w = 12 kN/mδL = 3 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia Ireq que atende a esse limite.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (aço)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Flambagem de pilaresMédia
PL = 1,5 m20 × 50 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.Flambagem de pilaresDifícil
PL = 2 md = 40 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σcr pela fórmula de Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (aço)d = 40 mm
σcr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 1592 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 35·1000/314,2 = 111,4 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 111,4/70000 = 0,001592 = 1592 µε

Resposta

ε = 1592 µε
2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ2 = 9,095 MPa

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, Pi = P·EiAi/ΣEA, e σi = Ei·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Rigidezes

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 100000·1257/500 = 251327 N/mm

Fatia do trecho 2

F2 = 40000·251327/879646 = 11429 N

Tensão

σ2 = 11429/1257 = 9,095 MPa (compressão)

Resposta

σ2 = 9,095 MPa
3.Torção de eixos

Resposta: τmax = 127,3 MPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Tensão em cada trecho

T = 200 N·m = 200000 N·mm
τAB = 16·200000/(π·30³) = 37,73 MPa
τBC = 16·200000/(π·20³) = 127,3 MPa

Resposta

τmax = 127,3 MPa
4.Torção de eixos

Resposta: τmax = 12,93 MPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Momento polar de inércia

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τmax = T·(do/2)/J = 477465·30/1,107 × 10⁶ = 12,93 MPa

Resposta

τmax = 12,93 MPa
5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Vx = −65,63 kN

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira. A carga do balanço também gera momento em relação a A.

ΣMA = 0: RB·4 = 70·3 + 35·5,5
RB = 402,5/4 = 100,6 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 100,6 = 4,375 kN

Corte logo à esquerda de B e fique com a parte esquerda

Vx = RA − P1 = 4,375 − 70 = −65,63 kN

Resposta

Vx = −65,63 kN
6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 4 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R1 = 61,67 kN, R2 = 48,33 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

MA = 0, MB = −40, MC = −23,33, MD = −31,67, ME = −50 kN·m, MF = −25, MG = 0

Resposta

Marca E: ME = −50 kN·m
7.Centroide e momento de inércia

Resposta: Ix = 59,32 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: Af = 240·20 = 4800 mm², yf = 240 + 20/2 = 250 mm
alma: Aw = 18·240 = 4320 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·250 + 4320·120)/9120 = 188,4 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 240·20³/12 + 4800·(250 − 188,4)² = 1,836 × 10⁷ mm⁴
alma: 18·240³/12 + 4320·(120 − 188,4)² = 4,096 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,836 × 10⁷ + 4,096 × 10⁷ = 5,932 × 10⁷ mm⁴ = 59,32 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ix = 59,32 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide e momento de inércia

Resposta: Ix = 98,04 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (30000·100 − 3000·80)/(30000 − 3000) = 102,2 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·200³/12 + 30000·−2,222² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

60·50³/12 + 3000·−22,22² = 2,106 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

Ix = 98,04 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ix = 98,04 × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θp = −31,72 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

στxyCσ1​σ2​

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−60, 50 − −10) = −63,43°

Ângulo no elemento

θp = −31,72°

Resposta

θp = −31,72°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σθ = 145,3 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação

σθ = 105 + 35·0,866 + 20·0,5 = 145,3 MPa

Resposta

σθ = 145,3 MPa
11.Deflexão da viga

Resposta: δmax = 3,72 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 3,72 mm

Resposta

δmax = 3,72 mm
12.Deflexão da viga

Resposta: Ireq = 7,594 × 10⁶ mm⁴

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Limite de deflexão

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·3000⁴/(384·200000·8,333) = 7,594 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 7,594 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ireq = 7,594 × 10⁶ mm⁴
13.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 117 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/750² = 116973 N = 117 kN

Resposta

Pcr = 117 kN
14.Flambagem de pilares

Resposta: σcr = 197,4 MPa

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/10 = 100

Tensão crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Resposta

σcr = 197,4 MPa

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