Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de aço, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 16 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 40 mm, comprimento 600 mm, E = 200 GPa) e um trecho de bronze (diâmetro 50 mm, comprimento 500 mm, E = 110 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 40 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPatrecho 2: bronze, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 100 N·md = 25 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de aço com diâmetro 30 mm está fixo em A. Um torque de 250 N·m atua em B, a 0,5 m de A, e um torque de 1000 N·m no mesmo sentido atua na extremidade livre C, 1 m adiante. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

d = 30 mmT_B = 250 N·mT_C = 1000 N·mAB = 0,5 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 4 mw = 2 kN/m de 0 a 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

55 kN @ 0 m20 kN @ 6 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 50 MPa na tração e 90 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor negativo M_allow que a viga pode suportar (dê o seu módulo).

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −60 MPa, σᵧ = 0 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = −60 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 120 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 30° no sentido horário a partir do eixo x.

σ_x = 120 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alumínio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (aço)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 497,4 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201,1 = 99,47 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 99,47/200000 = 0,0004974 = 497,4 µε

Resposta

ε = 497,4 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 10,34 MPa

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Rigidezes

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 110000·1963/500 = 431969 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 40000·431969/850848 = 20308 N

Tensão

σ₂ = 20308/1963 = 10,34 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 10,34 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 17,24 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(26000·38350) = 0,3009 rad

φ = 0,3009·180/π = 17,24°

Resposta

φ = 17,24°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 235,8 MPa

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1000 + 250 = 1250 N·m

Tensão de cisalhamento máxima

O trecho com o maior torque interno tem a maior tensão (mesmo diâmetro).

|T|_max = 1250 N·m

τ_max = 16·1,25 × 10⁶/(π·30³) = 235,8 MPa

Resposta

τ_max = 235,8 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 3,75 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Corte em x = 1,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 4·1,5 − 2·1,5·0,75 = 3,75 kN·m

Resposta

M_x = 3,75 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: B (x = 1 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 73,33 kN, R₂ = 21,67 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = −55 kN·m, M_C = −36,67, M_D = −38,33, M_E = −40, M_F = −20, M_G = 0

Resposta

Marca B: M_B = −55 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 21,86 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

alma: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·187,5 + 2520·90)/6720 = 150,9 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·15³/12 + 4200·(187,5 − 150,9)² = 5,693 × 10⁶ mm⁴

alma: 14·180³/12 + 2520·(90 − 150,9)² = 1,616 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,693 × 10⁶ + 1,616 × 10⁷ = 2,186 × 10⁷ mm⁴ = 21,86 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 21,86 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 22,33 kN·m

Centroide

ȳ = (4800·290 + 2800·140)/7600 = 234,7 mm

borda superior: c = 300 − 234,7 = 65,26 mm

Momento de inércia de área

I = 240·20³/12 + 4800·55,26² + 10·280³/12 + 2800·94,74² = 5,824 × 10⁷ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento negativo: a face superior fica tracionada, a inferior comprimida.

borda superior: M = 50·5,824 × 10⁷/65,26 = 44,62 kN·m

borda inferior: M = 90·5,824 × 10⁷/234,7 = 22,33 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 22,33 kN·m (borda inferior)

Resposta

M_allow = 22,33 kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 67,08 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((−60 − 0)/2)² + −60²) = 67,08 MPa

Resposta

τ_max = 67,08 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 35,36 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 20 + 100·0,5 + 40·−0,866 = 35,36 MPa

Resposta

σ_θ = 35,36 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 8,459 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 8,459 mm

Resposta

δ_max = 8,459 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 4,52 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·1500⁴/(384·70000·4,167) = 4,52 × 10⁶ mm⁴

I_req = 4,52 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 4,52 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 73,69 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·2000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/2000² = 73693 N = 73,69 kN

Resposta

P_cr = 73,69 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 6,294 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/6,25 = 560

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/560² = 6,294 MPa

Resposta

σ_cr = 6,294 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials