Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de aço sob a carga axial.

P = 115 kNd = 10 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 85 kNtrecho 1: Ø30 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 0,5 m, cobre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 250 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 20 kW a 500 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 40 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 2 m de A. Encontre o momento fletor M_A no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 2,5 mP = 25 kN em 2 mw = 3 kN/m de 0 a 2,5 m

M_A = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

30 kN @ 12 m15 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 150 mm × 240 mm tem um furo circular de diâmetro 40 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 168 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mmcentro do furo: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 120 mm × 150 mm tem um recorte retangular de 60 mm de largura e 30 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 105 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 150 mmrecorte: 60 × 30 mmcentro do furo: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 70 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (tração positiva). O elemento é girado 35° no sentido anti-horário. Encontre a tensão normal σ_y′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.

σ_x = 70 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 120 MPa, σᵧ = −60 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 30° no sentido horário a partir do eixo x.

σ_x = 120 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 3,5 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 28 kNa = 3,5 mL = 5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 5 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Ele deve suportar 60 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 60 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 7,321 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 115·1000/78,54 = 1464 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1464/200000 = 0,007321 = 7321 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,007321·1000 mm = 7,321 mm

Resposta

δ = 7,321 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 751,6 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 120,3 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 751,6 MPa

Resposta

σ_max = 751,6 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 1,754 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(26000·251327) = 0,03061 rad

φ = 0,03061·180/π = 1,754°

Resposta

φ = 1,754°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 36,5 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·381972/(π·40)) = 36,5 mm

Resposta

d = 36,5 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_A = −59,38 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Fique com a parte da extremidade livre

P: −25·2 = −50 kN·m

w: −3·2,5²/2 = −9,375 kN·m

M_A = −50 − 9,375 = −59,38 kN·m

Resposta

M_A = −59,38 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: F (x = 10 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 0 kN, R₂ = 45 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 0, M_C = 0, M_D = 0, M_E = −30, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Resposta

Marca F: M_F = −60 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 169,7 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (36000·120 − 1257·168)/(36000 − 1257) = 118,3 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·240³/12 + 36000·1,736² = 172,9 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·40⁴/64 + 1257·49,74² = 3,234 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 169,7 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 169,7 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 31,82 × 10⁶ mm⁴

Centroide

ȳ = (18000·75 − 1800·105)/(18000 − 1800) = 71,67 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·150³/12 + 18000·3,333² = 33,95 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

60·30³/12 + 1800·33,33² = 2,135 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 31,82 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 31,82 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_y′ = 17,67 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação para a face y′

σ_y′ = 10 − 60·0,342 − (−30)·0,9397 = 17,67 MPa

Verificação

A soma das tensões normais não muda com a rotação.

σ_x′ = 2,33 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 20 = σ_x + σ_y

Resposta

σ_y′ = 17,67 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 118,3 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 30 + 90·0,5 + −50·−0,866 = 118,3 MPa

Resposta

σ_θ = 118,3 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 20,42 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 28000 N, a = 3500 mm, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 28000·3500²·1500²/(3·2,52 × 10¹²·5000) = 20,42 mm

Resposta

δ_P = 20,42 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 1,13 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·1500⁴/(384·70000·4,167) = 1,13 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,13 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 1,13 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 46,06 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/2000² = 46058 N = 46,06 kN

Resposta

P_cr = 46,06 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 53,12 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·60000 = 120000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 53,12 mm

Resposta

d = 53,12 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 113, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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