Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de aço sob a carga axial.

P = 115 kNd = 10 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 70 kNtrecho 1: Ø40 mm, 1,5 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 2 m, latão (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 250 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado transmite 10 kW a 300 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

P = 10 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

60 kN @ 2 m5 kN/m, 2–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 5 mw = 8 kN/m de 0 a 3 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil U está com o lado aberto para cima: uma chapa de base de 240 mm de largura com duas abas verticais, com altura total de 90 mm. Base e abas têm todas 14 mm de espessura. Encontre a altura ȳ do centroide acima da borda inferior.

b = 240 mmh = 90 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 50 MPa na tração e 120 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor negativo M_allow que a viga pode suportar (dê o seu módulo).

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 30 MPa, com σ_z = 0. Encontre a tensão de cisalhamento máxima absoluta τ_abs no ponto (considerando todos os planos em três dimensões).

σ_x = 130 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um tanque cilíndrico de parede fina com diâmetro interno de 500 mm e espessura de parede de 15 mm contém gás a uma pressão manométrica de 1,2 MPa. Ele é feito de chapa soldada ao longo de uma costura helicoidal a 30° do eixo do cilindro. Encontre a tensão normal σ_n que atua através da costura de solda.

D = 500 mmt = 15 mmp = 1,2 MPaα = 30°

σ_n = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P na extremidade livre. Usando superposição, encontre a deflexão δ na extremidade livre.

P = 14 kNw = 12 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre a reação R_B no apoio B.

L = 6 mP = 20 kN em 3 m

R_B = kN

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 7,321 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 115·1000/78,54 = 1464 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1464/200000 = 0,007321 = 7321 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,007321·1000 mm = 7,321 mm

Resposta

δ = 7,321 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 618,9 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 55,7 MPa

σ₂ = 618,9 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 618,9 MPa

Resposta

σ_max = 618,9 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 1,754 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(26000·251327) = 0,03061 rad

φ = 0,03061·180/π = 1,754°

Resposta

φ = 1,754°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 8,006 MPa

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Momento polar de inércia

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·30/1,193 × 10⁶ = 8,006 MPa

Resposta

τ_max = 8,006 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 2 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 45 kN, R₂ = 25 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 45, M_C = 90 kN·m, M_D = 72,5, M_E = 50, M_F = 25, M_G = 0

Resposta

Marca C: M_C = 90 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 17,64 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, atuando em x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·3·1,5

R_B = 36/5 = 7,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 7,2 = 16,8 kN

Cortante nulo

O esforço cortante começa em R_A, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 16,8/8 = 2,1 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 16,8·2,1 − 8·2,1²/2 = 17,64 kN·m

Resposta

M_max = 17,64 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: ȳ = 24,45 mm

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em retângulos

Tome a base com a largura total e as duas abas acima dela (altura h − t), para que nada seja contado duas vezes.

base: A₁ = 240·14 = 3360 mm², y₁ = 7 mm

duas abas: A₂ = 2·14·76 = 2128 mm², y₂ = 14 + 76/2 = 52 mm

Centroide

ȳ = (3360·7 + 2128·52)/5488 = 24,45 mm

Resposta

ȳ = 24,45 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 38,69 kN·m

Centroide

ȳ = (8400·275 + 3640·130)/12040 = 231,2 mm

borda superior: c = 290 − 231,2 = 58,84 mm

Momento de inércia de área

I = 280·30³/12 + 8400·43,84² + 14·260³/12 + 3640·101,2² = 7,453 × 10⁷ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento negativo: a face superior fica tracionada, a inferior comprimida.

borda superior: M = 50·7,453 × 10⁷/58,84 = 63,33 kN·m

borda inferior: M = 120·7,453 × 10⁷/231,2 = 38,69 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 38,69 kN·m (borda inferior)

Resposta

M_allow = 38,69 kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_abs = 69,15 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Em três dimensões a tensão de cisalhamento máxima absoluta é (σ_max − σ_min)/2 considerando as três tensões principais; no estado plano de tensão a terceira é zero.

Tensões principais no plano

C = 80 MPa, R = √(50² + 30²) = 58,31 MPa

σ₁ = 138,3 MPa, σ₂ = 21,69 MPa, σ_z = 0

O maior dos três círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(116,6, 138,3, 21,69)/2 = 69,15 MPa

Resposta

τ_abs = 69,15 MPa

Aqui o círculo fora do plano governa: o máximo absoluto é maior que o máximo no plano R.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_n = 17,5 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Cilindro de parede fina: tensão circunferencial σ_h = pr/t e tensão axial σ_a = pr/(2t); essas são as tensões principais na parede.

Tensões na parede

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 1,2·250/15 = 20 MPa

σ_a = pr/(2t) = 10 MPa

Transforme para a costura

Tome x ao longo do eixo (σ_a) e y na direção circunferencial (σ_h). A normal da costura forma 90° − α com o eixo.

σ_n = 10·sin²30° + 20·cos²30° = 17,5 MPa

Resposta

σ_n = 17,5 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 3,97 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 14000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(3EI) = 14000·1500³/(3·5,88 × 10¹²) = 2,679 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 1,291 mm

Some

δ = 2,679 + 1,291 = 3,97 mm

Resposta

δ = 3,97 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: R_B = 6,25 kN

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·20/16 = 6,25 kN

Resposta

R_B = 6,25 kN

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 8,996 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2000² = 8996 N = 8,996 kN

Resposta

P_cr = 8,996 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 77,11 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Resposta

σ_cr = 77,11 MPa

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