Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 40 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de bronze (diâmetro externo 120 mm, diâmetro interno 60 mm, E = 110 GPa). Ambos têm 500 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 150 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 150 kNbarra: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 30 mm, comprimento 600 mm, E = 200 GPa) e um trecho de cobre (diâmetro 40 mm, comprimento 200 mm, E = 120 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 50 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Em um ensaio de torção, um corpo de prova maciço de diâmetro 20 mm é torcido por um torque de 100 N·m. As duas extremidades de um comprimento de referência de 300 mm giram 2,81° uma em relação à outra (o material ainda está no regime elástico). Encontre o módulo de elasticidade transversal G do material.

T = 100 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 2,81°

G = GPa

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado transmite 30 kW a 300 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

P = 30 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 4 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mw = 2 kN/m de 0 a 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

45 kN @ 0 m55 kN @ 6 m60 kN @ 2 m8 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 240 mm de largura e 14 mm de espessura, altura total de 420 mm e alma de 6 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 40 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão σ_j na junção da alma com a mesa superior.

B = 240 mmH = 420 mmt_f = 14 mmt_w = 6 mmM = 40 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 120 MPa, σᵧ = 100 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 30 MPa, σᵧ = 20 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τ_θ em um plano cuja normal está girada 20° no sentido anti-horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 30 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 4 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 11 kNa = 4 mL = 5 mE = 200 GPa (aço)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alumínio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (aço)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (aço)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,06332 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·8482 = 1,184 × 10⁹ N

Encurtamento

δ = 150000·500/1,184 × 10⁹ = 0,06332 mm

Resposta

δ = 0,06332 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 30,32 MPa

Rigidezes

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 120000·1257/200 = 753982 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 50000·753982/989602 = 38095 N

Tensão

σ₂ = 38095/1257 = 30,32 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 30,32 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: G = 38,94 GPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar e ângulo

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 2,81·π/180 = 0,04904 rad

Módulo de cisalhamento

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·300/(15708·0,04904) = 38942 MPa

G = 38,94 GPa

Resposta

G = 38,94 GPa

Compare: aço ≈ 80 GPa, latão ≈ 39 GPa, alumínio ≈ 26 GPa.

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 32,94 MPa

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Momento polar de inércia

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·30/869767 = 32,94 MPa

Resposta

τ_max = 32,94 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 24 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Corte em x = 4 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 10·4 − 2·4·2 = 24 kN·m

Resposta

M_x = 24 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: F (x = 5 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 103,5 kN, R₂ = 88,5 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = −45, M_C = 9,5, M_D = −4, M_E = −25,5, M_F = −55 kN·m, M_G = 0

Resposta

Marca F: M_F = −55 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 63,89 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

alma: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·287,5 + 3360·140)/7860 = 224,4 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 300·15³/12 + 4500·(287,5 − 224,4)² = 1,798 × 10⁷ mm⁴

alma: 12·280³/12 + 3360·(140 − 224,4)² = 4,591 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,798 × 10⁷ + 4,591 × 10⁷ = 6,389 × 10⁷ mm⁴ = 63,89 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 63,89 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_j = 25,52 MPa

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 420 − 2·14 = 392 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (240·420³ − 234·392³)/12

I_x = 3,072 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

y = 210 − 14 = 196 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·196/3,072 × 10⁸ = 25,52 MPa

Resposta

σ_j = 25,52 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = −9,217 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = 30/31,62 = 0,9487, sin 2θ_s = −10/31,62 = −0,3162

2θ_s = atan2(−10, 30) = −18,43°

Ângulo no elemento

θ_s = −9,217°

verificação: θ_s − θ_p = −9,217 − 35,78 = −45°

Resposta

θ_s = −9,217°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_θ = −26,2 MPa

Equação de transformação

τ_θ = −5·0,6428 + −30·0,766 = −26,2 MPa

Resposta

τ_θ = −26,2 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 1,63 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 11000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 11000·4000²·1000²/(3·7,2 × 10¹²·5000) = 1,63 mm

Resposta

δ_P = 1,63 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 50,22 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·5000⁴/(384·70000·13,89) = 5,022 × 10⁷ mm⁴

I_req = 50,22 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 50,22 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 257 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·1000 = 1000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/1000² = 257021 N = 257 kN

Resposta

P_cr = 257 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 7,896 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Resposta

σ_cr = 7,896 MPa

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