Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de alumínio, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 40 mm, comprimento 500 mm, E = 200 GPa) e um trecho de cobre (diâmetro 50 mm, comprimento 300 mm, E = 120 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 60 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado transmite 15 kW a 1800 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

P = 15 kWN = 1800 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mw = 4 kN/m de 0 a 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 6 mw = 6 kN/m de 2 a 5 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 50 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmM = 50 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 60 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = 50 MPa, com σ_z = 0. Encontre a tensão de cisalhamento máxima absoluta τ_abs no ponto (considerando todos os planos em três dimensões).

σ_x = 60 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 150 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 45° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 150 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (aço)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. EI é constante. Encontre a reação R_B no apoio B.

L = 8 mw = 8 kN/m

R_B = kN

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (alumínio)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (aço)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 3197 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/201,1 = 223,8 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 223,8/70000 = 0,003197 = 3197 µε

Resposta

ε = 3197 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 18,63 MPa

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Rigidezes

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 120000·1963/300 = 785398 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 60000·785398/1,288 × 10⁶ = 36585 N

Tensão

σ₂ = 36585/1963 = 18,63 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 18,63 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 1,796 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(26000·613592) = 0,03134 rad

φ = 0,03134·180/π = 1,796°

Resposta

φ = 1,796°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 3,458 MPa

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Momento polar de inércia

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 79577·25/575243 = 3,458 MPa

Resposta

τ_max = 3,458 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 17,5 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Corte em x = 3,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 12·3,5 − 4·3,5·1,75 = 17,5 kN·m

Resposta

M_x = 17,5 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 19,69 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, atuando em x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·3·3,5

R_B = 63/6 = 10,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 10,5 = 7,5 kN

Cortante nulo

O esforço cortante começa em R_A, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 7,5/6 = 3,25 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 7,5·3,25 − 6·1,25²/2 = 19,69 kN·m

Resposta

M_max = 19,69 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 24,32 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

alma: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·210 + 2000·100)/7200 = 179,4 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 260·20³/12 + 5200·(210 − 179,4)² = 5,028 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·200³/12 + 2000·(100 − 179,4)² = 1,929 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,028 × 10⁶ + 1,929 × 10⁷ = 2,432 × 10⁷ mm⁴ = 24,32 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 24,32 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 395,2 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

alma: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·207,5 + 2000·100)/5300 = 166,9 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 220·15³/12 + 3300·(207,5 − 166,9)² = 5,492 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·200³/12 + 2000·(100 − 166,9)² = 1,563 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,492 × 10⁶ + 1,563 × 10⁷ = 2,112 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 166,9 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·166,9/2,112 × 10⁷ = 395,2 MPa

Resposta

σ_base = 395,2 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_abs = 86,02 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Em três dimensões a tensão de cisalhamento máxima absoluta é (σ_max − σ_min)/2 considerando as três tensões principais; no estado plano de tensão a terceira é zero.

Tensões principais no plano

C = −10 MPa, R = √(70² + 50²) = 86,02 MPa

σ₁ = 76,02 MPa, σ₂ = −96,02 MPa, σ_z = 0

O maior dos três círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(172, 76,02, 96,02)/2 = 86,02 MPa

Resposta

τ_abs = 86,02 MPa

Aqui σ₁ e σ₂ têm sinais opostos, então o máximo no plano R também é o máximo absoluto.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 75 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 115 + 35·0 + −40·1 = 75 MPa

Resposta

σ_θ = 75 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 1,042 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 1,042 mm

Resposta

δ_max = 1,042 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: R_B = 24 kN

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·8/8 = 24 kN

Resposta

R_B = 24 kN

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 48,06 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2100² = 48063 N = 48,06 kN

Resposta

P_cr = 48,06 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 6,294 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/6,25 = 560

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/560² = 6,294 MPa

Resposta

σ_cr = 6,294 MPa

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