Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de alumínio sob a carga axial.

P = 90 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 55 kNtrecho 1: Ø40 mm, 1,5 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 1 m, alumínio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 200 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de alumínio com diâmetro 60 mm está fixo em A. Um torque de 750 N·m atua em B, a 2 m de A, e um torque de 250 N·m no mesmo sentido atua na extremidade livre C, 0,8 m adiante. Encontre o módulo do ângulo de torção φ_C da extremidade C, em graus.

d = 60 mmT_B = 750 N·mT_C = 250 N·mAB = 2 mBC = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 4,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mw = 6 kN/m de 0 a 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre o momento fletor M_B no apoio B. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 9 mw = 5 kN/m de 0 a 9 mapoios em x = 0 e x = 8 m

M_B = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 50 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mmM = 50 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 120 MPa e σᵧ = 50 MPa. Até que valor a tensão de cisalhamento τ_xy (em módulo) pode chegar antes que a maior tensão principal atinja 130 MPa?

σ_x = 120 MPaσ_y = 50 MPaσ₁ = 130 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 120 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). O material tem tensão de escoamento de 420 MPa. Encontre o fator de segurança n contra o escoamento pelo critério de von Mises (energia de distorção).

σ_x = 120 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 1,5 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 14 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (aço)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 2,046 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 90·1000/314,2 = 286,5 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 286,5/70000 = 0,004093 = 4093 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,004093·500 mm = 2,046 mm

Resposta

δ = 2,046 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 4,564 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 43,77 MPa

σ₂ = 273,5 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 43,77·1500/100000 = 0,6565 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 273,5·1000/70000 = 3,908 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,564 mm

Resposta

δ = 4,564 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 14,96 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(39000·15708) = 0,2612 rad

φ = 0,2612·180/π = 14,96°

Resposta

φ = 14,96°

4.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 3,81 °

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 750 = 1000 N·m

Torção de cada trecho

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·2000/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,06046 rad

φ_BC = 250000·800/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,006046 rad

Torção da extremidade C

φ_C = 0,06046 + 0,006046 = 0,0665 rad → |φ_C| = 3,81°

Resposta

φ_C = 3,81°

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 6,75 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Corte em x = 4,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 15·4,5 − 6·4,5·2,25 = 6,75 kN·m

Resposta

M_x = 6,75 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_B = −2,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·9 = 45 kN, atuando em x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·9·4,5

R_B = 202,5/8 = 25,31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 25,31 = 19,69 kN

Corte em B e fique com o balanço

A carga no balanço, w·a, atua a a/2 de B e gera momento negativo sobre o apoio.

M_B = −w·a²/2 = −5·1²/2 = −2,5 kN·m

Resposta

M_B = −2,5 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 14,96 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

alma: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·175 + 1600·80)/7000 = 153,3 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 180·30³/12 + 5400·(175 − 153,3)² = 2,951 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·160³/12 + 1600·(80 − 153,3)² = 1,201 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,951 × 10⁶ + 1,201 × 10⁷ = 1,496 × 10⁷ mm⁴ = 14,96 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 14,96 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 246,6 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

alma: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·165 + 1920·80)/3520 = 118,6 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 160·10³/12 + 1600·(165 − 118,6)² = 3,453 × 10⁶ mm⁴

alma: 12·160³/12 + 1920·(80 − 118,6)² = 6,962 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,453 × 10⁶ + 6,962 × 10⁶ = 1,041 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 170 − 118,6 = 51,36 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·51,36/1,041 × 10⁷ = 246,6 MPa

Resposta

σ_topo = 246,6 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_xy = 28,28 MPa

Raio necessário

C = (120 + 50)/2 = 85 MPa

R = σ₁ − C = 130 − 85 = 45 MPa

Tensão de cisalhamento

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 35²) = 28,28 MPa

Resposta

τ_xy = 28,28 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: n = 2,157

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 20 MPa, R = 111,8 MPa

σ₁ = 131,8 MPa, σ₂ = −91,8 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(131,8² − 131,8·(−91,8) + (−91,8)²) = 194,7 MPa

n = 420/194,7 = 2,157

Resposta

n = 2,157

n > 1 significa que o ponto não escoa; Tresca é um pouco mais conservador que von Mises.

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 41,43 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 14000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 14000·1500²·2500²/(3·3,96 × 10¹¹·4000) = 41,43 mm

Resposta

δ_P = 41,43 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 5,859 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·200000·13,89) = 5,859 × 10⁶ mm⁴

I_req = 5,859 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 5,859 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 38,59 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·1500 = 1500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1500² = 38586 N = 38,59 kN

Resposta

P_cr = 38,59 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 62,66 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/10 = 105

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/105² = 62,66 MPa

Resposta

σ_cr = 62,66 MPa

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