Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de aço sob a carga axial.

P = 80 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 120 kNtrecho 1: Ø30 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 0,5 m, cobre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo vazado deve suportar um torque de 500 N·m. Seu diâmetro interno deve ser 0,7 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 80 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

T = 500 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 30 kW a 1000 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,8 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 60 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 30 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 4 mw = 12 kN/m de 0 a 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre o momento fletor M_B no apoio B. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mw = 6 kN/m de 0 a 5 mapoios em x = 0 e x = 4 m

M_B = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 150 mm × 240 mm tem um furo circular de diâmetro 40 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 84 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mmcentro do furo: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 150 mm × 240 mm tem um recorte retangular de 80 mm de largura e 30 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 144 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 240 mmrecorte: 80 × 30 mmcentro do furo: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 140 MPa, σᵧ = 20 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 150 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). O material tem tensão de escoamento de 420 MPa. Encontre o fator de segurança n contra o escoamento pelo critério de Tresca (tensão de cisalhamento máxima).

σ_x = 150 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 10 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 75 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/300. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 1 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 75 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 8,842 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 80·1000/113,1 = 707,4 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 707,4/200000 = 0,003537 = 3537 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,003537·2500 mm = 8,842 mm

Resposta

δ = 8,842 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 596,8 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 169,8 MPa

σ₂ = 596,8 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 596,8 MPa

Resposta

σ_max = 596,8 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: d_o = 34,73 mm

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 500 N·m = 500000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·80·0,7599)) = 34,73 mm

d_i = 0,7·34,73 = 24,31 mm

Resposta

d_o = 34,73 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 31,69 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 34,53 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·286479/(π·60·0,5904)) = 34,53 mm

d_i = 0,8·34,53 = 27,63 mm

Resposta

d_o = 34,53 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 28,97 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 18 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Corte em x = 1 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 24·1 − 12·1·0,5 = 18 kN·m

Resposta

M_x = 18 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_B = −3 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·5·2,5

R_B = 75/4 = 18,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 18,75 = 11,25 kN

Corte em B e fique com o balanço

A carga no balanço, w·a, atua a a/2 de B e gera momento negativo sobre o apoio.

M_B = −w·a²/2 = −6·1²/2 = −3 kN·m

Resposta

M_B = −3 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 171 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (36000·120 − 1257·84)/(36000 − 1257) = 121,3 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·240³/12 + 36000·−1,302² = 172,9 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−37,3² = 1,874 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 171 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 171 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 171,1 × 10⁶ mm⁴

Centroide

ȳ = (36000·120 − 2400·144)/(36000 − 2400) = 118,3 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·240³/12 + 36000·1,714² = 172,9 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

80·30³/12 + 2400·25,71² = 1,767 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 171,1 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 171,1 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = −64,9 °

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = −50/78,1 = −0,6402, sin 2θ_s = −60/78,1 = −0,7682

2θ_s = atan2(−60, −50) = −129,8°

Ângulo no elemento

θ_s = −64,9°

verificação: θ_s − θ_p = −64,9 − (−19,9) = −45°

Resposta

θ_s = −64,9°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: n = 2,458

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 70 MPa, R = 85,44 MPa

σ₁ = 155,4 MPa, σ₂ = −15,44 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 170,9 MPa

n = 420/170,9 = 2,458

Resposta

n = 2,458

n > 1 significa que o ponto não escoa; Tresca é um pouco mais conservador que von Mises.

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 1,051 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 1500 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·1500⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 1,051 mm

Resposta

δ_max = 1,051 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 192,2 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16,67 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·5000⁴/(384·11000·16,67) = 4,439 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·4,439 × 10⁷/75)^1/3 = 192,2 mm

Resposta

h_req = 192,2 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 9,462 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9,462 kN

Resposta

P_cr = 9,462 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 17,27 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/7,5 = 200

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Resposta

σ_cr = 17,27 MPa

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