Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 25 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de bronze (diâmetro externo 100 mm, diâmetro interno 70 mm, E = 110 GPa). Ambos têm 400 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 50 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 50 kNbarra: Ø25 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 105 kNtrecho 1: Ø35 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 2 m, aço (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Em um ensaio de torção, um corpo de prova maciço de diâmetro 20 mm é torcido por um torque de 75 N·m. As duas extremidades de um comprimento de referência de 400 mm giram 1,37° uma em relação à outra (o material ainda está no regime elástico). Encontre o módulo de elasticidade transversal G do material.

T = 75 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 1,37°

G = GPa

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 10 kW a 1000 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 75 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 10 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

55 kN @ 8 m5 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 20 kN em 1,5 mw = 12 kN/m de 0 a 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil I simétrico tem mesas de 130 mm de largura e 10 mm de espessura, altura total de 460 mm e alma de 8 mm de espessura. Encontre seu módulo de resistência elástico S_x para flexão em relação ao eixo centroidal horizontal x.

B = 130 mmH = 460 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 200 mm × 200 mm tem um recorte retangular de 50 mm de largura e 30 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 70 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 200 mmrecorte: 50 × 30 mmcentro do furo: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 0 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um tanque cilíndrico de parede fina com diâmetro interno de 1200 mm e espessura de parede de 6 mm contém gás a uma pressão manométrica de 2 MPa. Ele é feito de chapa soldada ao longo de uma costura helicoidal a 55° do eixo do cilindro. Encontre o módulo da tensão de cisalhamento |τ_n| que atua ao longo da costura de solda.

D = 1200 mmt = 6 mmp = 2 MPaα = 55°

|τ_n| = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 20 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (aço)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,03712 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·4006 = 5,388 × 10⁸ N

Encurtamento

δ = 50000·400/5,388 × 10⁸ = 0,03712 mm

Resposta

δ = 0,03712 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 928,4 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 109,1 MPa

σ₂ = 928,4 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 928,4 MPa

Resposta

σ_max = 928,4 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: G = 79,87 GPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar e ângulo

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 1,37·π/180 = 0,02391 rad

Módulo de cisalhamento

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·400/(15708·0,02391) = 79874 MPa

G = 79,87 GPa

Resposta

G = 79,87 GPa

Compare: aço ≈ 80 GPa, latão ≈ 39 GPa, alumínio ≈ 26 GPa.

4.Torção de eixos

Resposta: d = 18,65 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 10000/104,7 = 95,49 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·75)) = 18,65 mm

Resposta

d = 18,65 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 48,33 kN, R₂ = 66,67 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 86,67, M_C = 153,3, M_D = 200, M_E = 226,7 kN·m, M_F = 123,3, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = 226,7 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 52,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1,5 + 12·5·2,5

R_B = 180/5 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 36 = 44 kN

Corte em x = 1,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 44·1,5 − 12·1,5·0,75 = 52,5 kN·m

Resposta

M_x = 52,5 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: S_x = 819,3 × 10³ mm³

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 460 − 2·10 = 440 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·460³ − 122·440³)/12

I_x = 1,884 × 10⁸ mm⁴

Módulo de resistência

c = H/2 = 230 mm

S_x = I/c = 1,884 × 10⁸/230

S_x = 819287 mm³ = 819,3 × 10³ mm³

Resposta

S_x = 819,3 × 10³ mm³

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 131,8 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (40000·100 − 1500·70)/(40000 − 1500) = 101,2 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·200³/12 + 40000·−1,169² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

50·30³/12 + 1500·−31,17² = 1,57 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 131,8 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 131,8 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = −9,217 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = 30/31,62 = 0,9487, sin 2θ_s = −10/31,62 = −0,3162

2θ_s = atan2(−10, 30) = −18,43°

Ângulo no elemento

θ_s = −9,217°

verificação: θ_s − θ_p = −9,217 − 35,78 = −45°

Resposta

θ_s = −9,217°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: |τ_n| = 46,98 MPa

Tensões na parede

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 2·600/6 = 200 MPa

σ_a = pr/(2t) = 100 MPa

Transforme para a costura

Tome x ao longo do eixo (σ_a) e y na direção circunferencial (σ_h). A normal da costura forma 90° − α com o eixo.

|τ_n| = (200 − 100)·sin 55°·cos 55° = 46,98 MPa

Resposta

|τ_n| = 46,98 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 8,235 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 8,235 mm

Resposta

δ_max = 8,235 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·8000⁴/(384·200000·22,22) = 2,4 × 10⁸ mm⁴

I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 33,42 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/1050² = 33421 N = 33,42 kN

Resposta

P_cr = 33,42 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 35,25 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/12,5 = 140

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Resposta

σ_cr = 35,25 MPa

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