Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de cobre, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 65 kNd = 30 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 75 kNtrecho 1: Ø35 mm, 1 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 100 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado transmite 30 kW a 3000 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

P = 30 kWN = 3000 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 2,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mw = 4 kN/m de 0 a 8 mx = 2,5 m

V_x = kN

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

35 kN @ 12 m20 kN @ 2 m12 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 200 mm × 300 mm tem um furo circular de diâmetro 40 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 180 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 300 mmd = 40 mmcentro do furo: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 150 mm de largura e 16 mm de espessura, altura total de 400 mm e alma de 12 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 60 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão σ_j na junção da alma com a mesa superior.

B = 150 mmH = 400 mmt_f = 16 mmt_w = 12 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = −60 MPa, σᵧ = 0 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (tração positiva). O elemento é girado 45° no sentido horário. Encontre a tensão normal σ_y′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.

σ_x = −60 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 80 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 60° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 80 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 1 m de A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 15 kNa = 1 mL = 2 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre a reação R_B no apoio B.

L = 6 mP = 15 kN em 3 m

R_B = kN

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (aço)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Ele deve suportar 110 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 110 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 786 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 65·1000/706,9 = 91,96 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 91,96/117000 = 0,000786 = 786 µε

Resposta

ε = 786 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 663,1 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 77,95 MPa

σ₂ = 663,1 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 663,1 MPa

Resposta

σ_max = 663,1 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 1,494 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(80000·38350) = 0,02608 rad

φ = 0,02608·180/π = 1,494°

Resposta

φ = 1,494°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 5,839 MPa

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

Momento polar de inércia

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 95493·25/408885 = 5,839 MPa

Resposta

τ_max = 5,839 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = 6 kN

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Corte em x = 2,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 16 − 4·2,5 = 6 kN

Resposta

V_x = 6 kN

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 45,5 kN, R₂ = 105,5 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 67, M_C = 46, M_D = −23, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = −140 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (60000·150 − 1257·180)/(60000 − 1257) = 149,4 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·300³/12 + 60000·0,6418² = 450 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·40⁴/64 + 1257·30,64² = 1,306 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_j = 48,66 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 400 − 2·16 = 368 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·400³ − 138·368³)/12

I_x = 2,269 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

y = 200 − 16 = 184 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·184/2,269 × 10⁸ = 48,66 MPa

Resposta

σ_j = 48,66 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_y′ = −80 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação para a face y′

σ_y′ = −30 − (−30)·0 − (−50)·(−1) = −80 MPa

Verificação

A soma das tensões normais não muda com a rotação.

σ_x′ = 20 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −60 = σ_x + σ_y

Resposta

σ_y′ = −80 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 62,68 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 80 + 0·−0,5 + −20·0,866 = 62,68 MPa

Resposta

σ_θ = 62,68 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 3,788 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 15000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa³/(3EI) = 15000·1000³/(3·1,32 × 10¹²) = 3,788 mm

Resposta

δ_P = 3,788 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: R_B = 4,688 kN

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·15/16 = 4,688 kN

Resposta

R_B = 4,688 kN

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 93,58 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·3000 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/3000² = 93578 N = 93,58 kN

Resposta

P_cr = 93,58 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 50,27 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·110000 = 275000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 50,27 mm

Resposta

d = 50,27 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 119,4, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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