Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 400 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de cobre (diâmetro 40 mm, comprimento 200 mm, E = 120 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,3 mm no total.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 30 mm, comprimento 500 mm, E = 200 GPa) e um trecho de alumínio (diâmetro 30 mm, comprimento 200 mm, E = 70 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 20 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPatrecho 2: alumínio, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 10 kW a 3000 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 75 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 10 kWN = 3000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

35 kN @ 6 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mP = 10 kN em 3 mw = 3 kN/m de 0 a 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um tubo circular tem diâmetro externo D = 170 mm e diâmetro interno d = 150 mm. Encontre seu raio de giração r em relação ao eixo centroidal horizontal.

D = 170 mmd = 150 mm

r = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 190 mm de largura e 24 mm de espessura, altura total de 380 mm e alma de 12 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 120 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão σ_j na junção da alma com a mesa superior.

B = 190 mmH = 380 mmt_f = 24 mmt_w = 12 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −50 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = −50 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 90 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). O material tem tensão de escoamento de 420 MPa. Encontre o fator de segurança n contra o escoamento pelo critério de Tresca (tensão de cisalhamento máxima).

σ_x = −30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 0,5 m de A. Encontre a deflexão δ_B na extremidade livre B.

P = 22 kNa = 0,5 mL = 2,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. EI é constante. Encontre o módulo do momento fletor M_A no engaste.

L = 5 mw = 5 kN/m

M_A = kN·m

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (aço)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 39 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1257) = 1,326 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,3/7,692 × 10⁻⁶ = 38999 N = 39 kN

Resposta

P = 39 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 13,2 MPa

Rigidezes

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 70000·706,9/200 = 247400 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 20000·247400/530144 = 9333 N

Tensão

σ₂ = 9333/706,9 = 13,2 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 13,2 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 8,106 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(80000·79522) = 0,1415 rad

φ = 0,1415·180/π = 8,106°

Resposta

φ = 8,106°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 12,93 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 10000/314,2 = 31,83 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·31831/(π·75)) = 12,93 mm

Resposta

d = 12,93 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 6 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 53,5 kN, R₂ = 53,5 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 95, M_C = 166, M_D = 213 kN·m, M_E = 166, M_F = 95, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 213 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 41,25 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·3 + 3·8·4

R_B = 126/8 = 15,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 34 − 15,75 = 18,25 kN

Corte em x = 3 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 18,25·3 − 3·3·1,5 = 41,25 kN·m

Resposta

M_x = 41,25 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: r = 56,68 mm

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada. O raio de giração r = √(I/A) é a distância na qual toda a área daria o mesmo I; ele é usado na flambagem de pilares.

Área e momento de inércia líquidos

A = π(D² − d²)/4 = 5027 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,615 × 10⁷ mm⁴

Raio de giração

r = √(I/A) = √(1,615 × 10⁷/5027) = 56,68 mm

Resposta

r = 56,68 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_j = 61,11 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 380 − 2·24 = 332 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·380³ − 178·332³)/12

I_x = 3,26 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

y = 190 − 24 = 166 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·166/3,26 × 10⁸ = 61,11 MPa

Resposta

σ_j = 61,11 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = 71,99 °

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, −50 − 60) = 144°

Ângulo no elemento

θ_p = 71,99°

Resposta

θ_p = 71,99°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: n = 3,13

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 30 MPa, R = 67,08 MPa

σ₁ = 97,08 MPa, σ₂ = −37,08 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 134,2 MPa

n = 420/134,2 = 3,13

Resposta

n = 3,13

n > 1 significa que o ponto não escoa; Tresca é um pouco mais conservador que von Mises.

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_B = 16,2 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 22000 N, a = 500 mm, L = 2500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 2,315 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,006944 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 16,2 mm

Resposta

δ_B = 16,2 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: M_A = 15,63 kN·m

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·5/8 = 9,375 kN

Momento no engaste

Momentos em relação a A das cargas e da força do apoio.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 62,5 − 46,88 = 15,63 kN·m

Resposta

M_A = 15,63 kN·m

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 67,29 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67,29 kN

Resposta

P_cr = 67,29 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 13,77 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/6,25 = 224

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/224² = 13,77 MPa

Resposta

σ_cr = 13,77 MPa

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