Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de aço sob a carga axial.

P = 15 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 80 kNtrecho 1: Ø40 mm, 1 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 2 m, aço (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado transmite 20 kW a 500 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

P = 20 kWN = 500 rpmd_o = 75 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

60 kN @ 4 m10 kN/m, 4–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre o momento fletor M_B no apoio B. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 9 mw = 5 kN/m de 0 a 9 mapoios em x = 0 e x = 8 m

M_B = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 120 mm × 300 mm tem um furo circular de diâmetro 40 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 195 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmcentro do furo: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 30 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mmM = 30 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 160 MPa, σᵧ = 90 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (tração positiva). O elemento é girado 25° no sentido anti-horário. Encontre a tensão normal σ_y′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.

σ_x = 160 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 50 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 40° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P na extremidade livre. Usando superposição, encontre a deflexão δ na extremidade livre.

P = 11 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (aço)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 6 kNw = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (alumínio)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (alumínio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,3316 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/113,1 = 132,6 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 132,6/200000 = 0,0006631 = 663,1 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,0006631·500 mm = 0,3316 mm

Resposta

δ = 0,3316 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 254,6 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 254,6 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 254,6 MPa

Resposta

σ_max = 254,6 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 8,768 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(39000·251327) = 0,153 rad

φ = 0,153·180/π = 8,768°

Resposta

φ = 8,768°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 6,691 MPa

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Momento polar de inércia

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·37,5/2,141 × 10⁶ = 6,691 MPa

Resposta

τ_max = 6,691 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 4 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 60 kN, R₂ = 40 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 120, M_C = 240 kN·m, M_D = 220, M_E = 160, M_F = 80, M_G = 0

Resposta

Marca C: M_C = 240 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_B = −2,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·9 = 45 kN, atuando em x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·9·4,5

R_B = 202,5/8 = 25,31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 25,31 = 19,69 kN

Corte em B e fique com o balanço

A carga no balanço, w·a, atua a a/2 de B e gera momento negativo sobre o apoio.

M_B = −w·a²/2 = −5·1²/2 = −2,5 kN·m

Resposta

M_B = −2,5 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 267,2 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (36000·150 − 1257·195)/(36000 − 1257) = 148,4 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·300³/12 + 36000·1,628² = 270,1 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·40⁴/64 + 1257·46,63² = 2,858 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 267,2 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 267,2 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 193,8 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

alma: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·267,5 + 2080·130)/3880 = 193,8 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 120·15³/12 + 1800·(267,5 − 193,8)² = 9,814 × 10⁶ mm⁴

alma: 8·260³/12 + 2080·(130 − 193,8)² = 2,018 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,814 × 10⁶ + 2,018 × 10⁷ = 2,999 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 193,8 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·193,8/2,999 × 10⁷ = 193,8 MPa

Resposta

σ_base = 193,8 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_y′ = 110,2 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação para a face y′

σ_y′ = 125 − 35·0,6428 − (−10)·0,766 = 110,2 MPa

Verificação

A soma das tensões normais não muda com a rotação.

σ_x′ = 139,8 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 250 = σ_x + σ_y

Resposta

σ_y′ = 110,2 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 81,13 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 40 + 10·0,1736 + 40·0,9848 = 81,13 MPa

Resposta

σ_θ = 81,13 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 12,9 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 11000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(3EI) = 11000·2000³/(3·4,6 × 10¹²) = 6,377 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 6,522 mm

Some

δ = 6,377 + 6,522 = 12,9 mm

Resposta

δ = 12,9 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 5,425 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 6000 N, w = 2 N/mm, L = 5000 mm, EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·5000³/(48·5,88 × 10¹²) = 2,657 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 2,768 mm

Some

δ_max = 2,657 + 2,768 = 5,425 mm

Resposta

δ_max = 5,425 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 3,504 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2800² = 3504 N = 3,504 kN

Resposta

P_cr = 3,504 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 69,09 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Resposta

σ_cr = 69,09 MPa

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