Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de alumínio, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 12 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 40 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 0,5 m, latão (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo vazado de aço (diâmetro externo 60 mm, diâmetro interno 30 mm, comprimento 2,5 m) está fixo em uma extremidade e é torcido por um torque de 200 N·m na outra. Encontre o ângulo de torção φ em graus.

T = 200 N·md_o = 60 mmd_i = 30 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão com diâmetro 40 mm está fixo a paredes rígidas nas duas extremidades A e B. Um torque de 2000 N·m é aplicado em C, a 1,2 m de A e a 0,8 m de B. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

d = 40 mmT₀ = 2000 N·ma = 1,2 mb = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

60 kN @ 3 m8 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 10 mP = 35 kN em 5 mw = 12 kN/m de 0 a 10 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 100 mm × 150 mm tem um furo circular de diâmetro 30 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 52,5 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 100 mmh = 150 mmd = 30 mmcentro do furo: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 15 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mmM = 15 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −60 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = −60 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 120 MPa, σᵧ = −30 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τ_θ em um plano cuja normal está girada 40° no sentido anti-horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alumínio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas iguais P nos terços do vão (a L/3 de cada apoio). Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 7 kNL = 8 mE = 70 GPa (alumínio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (aço)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Ele deve suportar 145 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 145 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 15158 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 120·1000/113,1 = 1061 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1061/70000 = 0,01516 = 15158 µε

Resposta

ε = 15158 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 198,9 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 81,49 MPa

σ₂ = 198,9 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 198,9 MPa

Resposta

σ_max = 198,9 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 0,3002 °

Momento polar de inércia

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴

Ângulo de torção

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 200000·2500/(80000·1,193 × 10⁶) = 0,00524 rad

φ = 0,00524·180/π = 0,3002°

Resposta

φ = 0,3002°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 95,49 MPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω. Quando as duas extremidades estão fixas, a estática sozinha dá apenas T_A + T_B = T₀; a segunda equação é a compatibilidade (torções iguais das duas partes na seção carregada).

Equilíbrio e compatibilidade

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·0,8/2 = 800 N·m

T_B = 2000·1,2/2 = 1200 N·m

Tensão de cisalhamento máxima

O maior dos dois torques governa (mesmo diâmetro).

τ_max = 16·1,2 × 10⁶/(π·40³) = 95,49 MPa

Resposta

τ_max = 95,49 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 3 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 54 kN, R₂ = 54 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 50, M_C = 92, M_D = 126 kN·m, M_E = 92, M_F = 50, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 126 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 237,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·5 + 12·10·5

R_B = 775/10 = 77,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 155 − 77,5 = 77,5 kN

Onde V = 0?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 17,5 kN

V(5⁺) = 17,5 − 35 = −17,5 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 77,5·5 − 12·5²/2 = 237,5 kN·m

Resposta

M_max = 237,5 kN·m

Ele ocorre em x = 5 m a partir de A.

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 27,71 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (15000·75 − 706,9·52,5)/(15000 − 706,9) = 76,11 mm

Placa inteira em torno de ȳ

100·150³/12 + 15000·−1,113² = 28,14 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−23,61² = 0,4339 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 27,71 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 27,71 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 36,21 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

alma: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·307,5 + 4800·150)/9300 = 226,2 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 300·15³/12 + 4500·(307,5 − 226,2)² = 2,982 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·300³/12 + 4800·(150 − 226,2)² = 6,388 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,982 × 10⁷ + 6,388 × 10⁷ = 9,37 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 226,2 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·226,2/9,37 × 10⁷ = 36,21 MPa

Resposta

σ_base = 36,21 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 11,18 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((−60 − −50)/2)² + 10²) = 11,18 MPa

Resposta

τ_max = 11,18 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_θ = −63,44 MPa

Equação de transformação

τ_θ = −75·0,9848 + 60·0,1736 = −63,44 MPa

Resposta

τ_θ = −63,44 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 2,834 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 2,834 mm

Resposta

δ_max = 2,834 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 11,36 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 7000 N, L = 8000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Uma carga em L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 5,679 mm

Some as duas cargas

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 11,36 mm

Resposta

δ_max = 11,36 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 62,01 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·2000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62,01 kN

Resposta

P_cr = 62,01 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 72,78 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 3·145000 = 435000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 72,78 mm

Resposta

d = 72,78 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 137,4, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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