Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de cobre, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 12 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 30 mm, comprimento 500 mm, E = 200 GPa) e um trecho de cobre (diâmetro 30 mm, comprimento 500 mm, E = 120 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 60 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo vazado de aço (diâmetro externo 30 mm, diâmetro interno 23 mm, comprimento 1,5 m) está fixo em uma extremidade e é torcido por um torque de 100 N·m na outra. Encontre o ângulo de torção φ em graus.

T = 100 N·md_o = 30 mmd_i = 23 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de alumínio transmite 30 kW a 300 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 40 MPa e a torção não pode passar de 0,75° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 30 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mw = 2 kN/m de 0 a 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 2 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 15 kN em 2,5 mw = 10 kN/m de 0 a 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 190 mm de largura e 22 mm de espessura, altura total de 460 mm e alma de 12 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 100 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão σ_j na junção da alma com a mesa superior.

B = 190 mmH = 460 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mmM = 100 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = −50 MPa, com σ_z = 0. Encontre a tensão de cisalhamento máxima absoluta τ_abs no ponto (considerando todos os planos em três dimensões).

σ_x = 140 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −80 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). O material tem tensão de escoamento de 460 MPa. Encontre o fator de segurança n contra o escoamento pelo critério de von Mises (energia de distorção).

σ_x = −80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a rotação θ_A da viga no apoio A, em radianos.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (alumínio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (alumínio)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 7179 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 95·1000/113,1 = 840 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 840/117000 = 0,007179 = 7179 µε

Resposta

ε = 7179 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 31,83 MPa

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Rigidezes

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 120000·706,9/500 = 169646 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 60000·169646/452389 = 22500 N

Tensão

σ₂ = 22500/706,9 = 31,83 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 31,83 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 2,064 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π(30⁴ − 23⁴)/32 = 52048 mm⁴

Ângulo de torção

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 100000·1500/(80000·52048) = 0,03602 rad

φ = 0,03602·180/π = 2,064°

Resposta

φ = 2,064°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 73,12 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·40)) = 49,54 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 73,12 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(49,54, 73,12) = 73,12 mm

Resposta

d = 73,12 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 15 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Corte em x = 3 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 8·3 − 2·3·1,5 = 15 kN·m

Resposta

M_x = 15 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 45 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·2,5 + 10·5·2,5

R_B = 162,5/5 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 32,5 = 32,5 kN

Corte em x = 2 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 32,5·2 − 10·2·1 = 45 kN·m

Resposta

M_x = 45 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 38,7 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

alma: A_w = 18·200 = 3600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·210 + 3600·100)/9200 = 167 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·20³/12 + 5600·(210 − 167)² = 1,056 × 10⁷ mm⁴

alma: 18·200³/12 + 3600·(100 − 167)² = 2,814 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,056 × 10⁷ + 2,814 × 10⁷ = 3,87 × 10⁷ mm⁴ = 38,7 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 38,7 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_j = 43,95 MPa

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 460 − 2·22 = 416 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·460³ − 178·416³)/12

I_x = 4,733 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

y = 230 − 22 = 208 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·208/4,733 × 10⁸ = 43,95 MPa

Resposta

σ_j = 43,95 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_abs = 80,36 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Em três dimensões a tensão de cisalhamento máxima absoluta é (σ_max − σ_min)/2 considerando as três tensões principais; no estado plano de tensão a terceira é zero.

Tensões principais no plano

C = 90 MPa, R = √(50² + (−50)²) = 70,71 MPa

σ₁ = 160,7 MPa, σ₂ = 19,29 MPa, σ_z = 0

O maior dos três círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(141,4, 160,7, 19,29)/2 = 80,36 MPa

Resposta

τ_abs = 80,36 MPa

Aqui o círculo fora do plano governa: o máximo absoluto é maior que o máximo no plano R.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: n = 3,82

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = −25 MPa, R = 68,01 MPa

σ₁ = 43,01 MPa, σ₂ = −93,01 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(43,01² − 43,01·(−93,01) + (−93,01)²) = 120,4 MPa

n = 460/120,4 = 3,82

Resposta

n = 3,82

n > 1 significa que o ponto não escoa; Tresca é um pouco mais conservador que von Mises.

11.Deflexão da viga

Resposta: θ_A = 0,002067 rad

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). A rotação θ = dv/dx é a primeira integral de M/(EI); em unidades consistentes ela sai em radianos.

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Rotação na extremidade

θ_A = wL³/(24EI) = 8·2500³/(24·2,52 × 10¹²) = 0,002067 rad

Resposta

θ_A = 0,002067 rad

Isso equivale a 0,1184°.

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 171,4 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·8000⁴/(384·70000·22,22) = 1,714 × 10⁸ mm⁴

I_req = 171,4 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 171,4 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 21,7 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2000² = 21704 N = 21,7 kN

Resposta

P_cr = 21,7 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 47,98 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa

Resposta

σ_cr = 47,98 MPa

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