Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de cobre, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 500 mm, E = 200 GPa) e um trecho de latão (diâmetro 40 mm, comprimento 400 mm, E = 100 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 20 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPatrecho 2: latão, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Em um ensaio de torção, um corpo de prova maciço de diâmetro 10 mm é torcido por um torque de 75 N·m. As duas extremidades de um comprimento de referência de 200 mm giram 10,94° uma em relação à outra (o material ainda está no regime elástico). Encontre o módulo de elasticidade transversal G do material.

T = 75 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 10,94°

G = GPa

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de alumínio com diâmetro 50 mm está fixo em A. Um torque de 200 N·m atua em B, a 2,5 m de A, e um torque de 2000 N·m no mesmo sentido atua na extremidade livre C, 3 m adiante. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

d = 50 mmT_B = 200 N·mT_C = 2000 N·mAB = 2,5 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 9,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mw = 10 kN/m de 0 a 10 mx = 9,5 m

V_x = kN

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 4 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 60 kN em 4 mw = 10 kN/m de 0 a 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 110 mm de largura e 22 mm de espessura, altura total de 320 mm e alma de 8 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 200 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão σ_j na junção da alma com a mesa superior.

B = 110 mmH = 320 mmt_f = 22 mmt_w = 8 mmM = 200 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = −10 MPa e σᵧ = 40 MPa. Até que valor a tensão de cisalhamento τ_xy (em módulo) pode chegar antes que a maior tensão principal atinja 75 MPa?

σ_x = −10 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 75 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um eixo maciço de diâmetro 40 mm suporta uma força axial de tração de 170 kN junto com um torque de 1000 N·m. Na superfície do eixo, encontre a maior tensão principal σ₁.

d = 40 mmF = 170 kNT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 1,5 m de A. Encontre a deflexão δ_B na extremidade livre B.

P = 27 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 200 GPa (aço)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre a reação R_B no apoio B.

L = 3 mP = 50 kN em 1,5 m

R_B = kN

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 145 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 145 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 8691 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/113,1 = 1017 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1017/117000 = 0,008691 = 8691 µε

Resposta

ε = 8691 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 11,37 MPa

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Rigidezes

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 20000·314159/439823 = 14286 N

Tensão

σ₂ = 14286/1257 = 11,37 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 11,37 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: G = 80,02 GPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar e ângulo

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 10,94·π/180 = 0,1909 rad

Módulo de cisalhamento

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·200/(981,7·0,1909) = 80020 MPa

G = 80,02 GPa

Resposta

G = 80,02 GPa

Compare: aço ≈ 80 GPa, latão ≈ 39 GPa, alumínio ≈ 26 GPa.

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 89,64 MPa

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 2000 + 200 = 2200 N·m

Tensão de cisalhamento máxima

O trecho com o maior torque interno tem a maior tensão (mesmo diâmetro).

|T|_max = 2200 N·m

τ_max = 16·2,2 × 10⁶/(π·50³) = 89,64 MPa

Resposta

τ_max = 89,64 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = −45 kN

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Corte em x = 9,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 50 − 10·9,5 = −45 kN

Resposta

V_x = −45 kN

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 68 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·4 + 10·5·2,5

R_B = 365/5 = 73 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 73 = 37 kN

Corte em x = 4 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 37·4 − 10·4·2 = 68 kN·m

Resposta

M_x = 68 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 14,27 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

alma: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·172,5 + 1920·80)/4920 = 136,4 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 120·25³/12 + 3000·(172,5 − 136,4)² = 4,065 × 10⁶ mm⁴

alma: 12·160³/12 + 1920·(80 − 136,4)² = 1,02 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,065 × 10⁶ + 1,02 × 10⁷ = 1,427 × 10⁷ mm⁴ = 14,27 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 14,27 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_j = 226,9 MPa

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 320 − 2·22 = 276 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·320³ − 102·276³)/12

I_x = 1,217 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

y = 160 − 22 = 138 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁸·138/1,217 × 10⁸ = 226,9 MPa

Resposta

σ_j = 226,9 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_xy = 54,54 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio necessário

C = (−10 + 40)/2 = 15 MPa

R = σ₁ − C = 75 − 15 = 60 MPa

Tensão de cisalhamento

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 25²) = 54,54 MPa

Resposta

τ_xy = 54,54 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ₁ = 172,1 MPa

Tensões na superfície

σ = F/A = 170000/(π·40²/4) = 170000/1257 = 135,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79,58 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 67,64 MPa

R = √(67,64² + 79,58²) = 104,4 MPa

σ₁ = C + R = 172,1 MPa

σ₂ = C − R = −36,8 MPa

Resposta

σ₁ = 172,1 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_B = 18,98 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 27000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 12,66 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01266 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 18,98 mm

Resposta

δ_B = 18,98 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: R_B = 15,63 kN

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·50/16 = 15,63 kN

Resposta

R_B = 15,63 kN

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 23,03 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/4000² = 23029 N = 23,03 kN

Resposta

P_cr = 23,03 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 86,72 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 3·145000 = 435000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 86,72 mm

Resposta

d = 86,72 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 96,86, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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