Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de alumínio, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 20 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 75 kNtrecho 1: Ø25 mm, 2 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 2 m, latão (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 400 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 10 kW a 750 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 40 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 6 mP₁ = 50 kN em 2,5 mP₂ = 80 kN em 4 m

M_max = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mP = 20 kN em 3 mw = 8 kN/m de 0 a 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 120 mm × 300 mm tem um furo circular de diâmetro 40 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 180 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmcentro do furo: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I soldado tem mesa superior de 150 × 12 mm, alma de 330 mm de altura e 14 mm de espessura, e mesa inferior de 270 × 22 mm (largura × espessura). Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

mesa superior: 150 × 12 mmalma: 14 × 330 mmmesa inferior: 270 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 10 MPa e σᵧ = −40 MPa. Até que valor a tensão de cisalhamento τ_xy (em módulo) pode chegar antes que a maior tensão principal atinja 30 MPa?

σ_x = 10 MPaσ_y = −40 MPaσ₁ = 30 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −40 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τ_θ em um plano cuja normal está girada 30° no sentido anti-horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = −40 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 9 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (aço)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 4775 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 105·1000/314,2 = 334,2 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 334,2/70000 = 0,004775 = 4775 µε

Resposta

ε = 4775 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 10,52 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 152,8 MPa

σ₂ = 373 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 152,8·2000/100000 = 3,056 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 373·2000/100000 = 7,46 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 10,52 mm

Resposta

δ = 10,52 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 1,437 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(26000·613592) = 0,02507 rad

φ = 0,02507·180/π = 1,437°

Resposta

φ = 1,437°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 25,31 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·40)) = 25,31 mm

Resposta

d = 25,31 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 148,3 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·2,5 + 80·4

R_B = 445/6 = 74,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 74,17 = 55,83 kN

Momento sob cada carga

Fique com a parte à esquerda de cada carga.

sob P₁: M = R_A·2,5 = 55,83·2,5 = 139,6 kN·m

sob P₂: M = R_B·2 = 74,17·2 = 148,3 kN·m

Maior valor

M_max = 148,3 kN·m (sob P₂)

Resposta

M_max = 148,3 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 97,5 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·3 + 8·8·4

R_B = 316/8 = 39,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 39,5 = 44,5 kN

Corte em x = 3 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 44,5·3 − 8·3·1,5 = 97,5 kN·m

Resposta

M_x = 97,5 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 268,7 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (36000·150 − 1257·180)/(36000 − 1257) = 148,9 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·300³/12 + 36000·1,085² = 270 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·40⁴/64 + 1257·31,09² = 1,34 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 268,7 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 268,7 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 234,8 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em três retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa superior: A = 1800 mm², y = 358 mm

alma: A = 4620 mm², y = 187 mm

mesa inferior: A = 5940 mm², y = 11 mm

Centroide

ȳ = (1800·358 + 4620·187 + 5940·11)/12360 = 127,3 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa superior: 150·12³/12 + 1800·230,7² = 9,581 × 10⁷ mm⁴

alma: 14·330³/12 + 4620·59,68² = 5,838 × 10⁷ mm⁴

mesa inferior: 270·22³/12 + 5940·116,3² = 8,061 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,581 × 10⁷ + 5,838 × 10⁷ + 8,061 × 10⁷

I_x = 2,348 × 10⁸ mm⁴ = 234,8 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 234,8 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_xy = 37,42 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio necessário

C = (10 + (−40))/2 = −15 MPa

R = σ₁ − C = 30 − (−15) = 45 MPa

Tensão de cisalhamento

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 25²) = 37,42 MPa

Resposta

τ_xy = 37,42 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_θ = 45,31 MPa

Equação de transformação

τ_θ = −−35·0,866 + 30·0,5 = 45,31 MPa

Resposta

τ_θ = 45,31 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 15,15 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 15,15 mm

Resposta

δ_max = 15,15 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 30,59 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 9000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·4000³/(48·1,7 × 10¹²) = 7,059 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 23,53 mm

Some

δ_max = 7,059 + 23,53 = 30,59 mm

Resposta

δ_max = 30,59 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 13,25 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·2000 = 4000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4000² = 13247 N = 13,25 kN

Resposta

P_cr = 13,25 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 7,676 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/5 = 300

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Resposta

σ_cr = 7,676 MPa

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