Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 40 mm, comprimento 400 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de cobre (diâmetro 30 mm, comprimento 400 mm, E = 120 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,5 mm no total.

trecho 1: aço, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 65 kNtrecho 1: Ø35 mm, 1,5 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 400 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão transmite 50 kW a 1000 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 80 MPa e a torção não pode passar de 1° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 50 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

55 kN @ 8 m8 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 8 mw = 6 kN/m de 0 a 4 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 100 mm de largura e 24 mm de espessura, altura total de 280 mm e alma de 6 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 100 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão máxima σ_max na seção.

B = 100 mmH = 280 mmt_f = 24 mmt_w = 6 mmM = 100 kN·m

σ_max = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = −20 MPa, σᵧ = 0 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 120 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 40° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 120 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 79,27 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·706,9) = 4,716 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,5/6,307 × 10⁻⁶ = 79274 N = 79,27 kN

Resposta

P = 79,27 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 206,9 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 67,56 MPa

σ₂ = 206,9 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 206,9 MPa

Resposta

σ_max = 206,9 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 7,662 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(39000·38350) = 0,1337 rad

φ = 0,1337·180/π = 7,662°

Resposta

φ = 7,662°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 51,7 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

d_τ = ∛(16·477465/(π·80)) = 31,21 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·477465/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 51,7 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(31,21, 51,7) = 51,7 mm

Resposta

d = 51,7 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 66,33 kN, R₂ = 84,67 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 116,7, M_C = 201,3, M_D = 254, M_E = 274,7 kN·m, M_F = 153,3, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = 274,7 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 27 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·4·2

R_B = 48/8 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 6 = 18 kN

Cortante nulo

O esforço cortante começa em R_A, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 18/6 = 3 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 18·3 − 6·3²/2 = 27 kN·m

Resposta

M_max = 27 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 67,98 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 300 + 25/2 = 312,5 mm

alma: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·312,5 + 3000·150)/7000 = 242,9 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 160·25³/12 + 4000·(312,5 − 242,9)² = 1,961 × 10⁷ mm⁴

alma: 10·300³/12 + 3000·(150 − 242,9)² = 4,837 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,961 × 10⁷ + 4,837 × 10⁷ = 6,798 × 10⁷ mm⁴ = 67,98 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 67,98 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_max = 164,5 MPa

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 280 − 2·24 = 232 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·280³ − 94·232³)/12

I_x = 8,512 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

y = 140 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·140/8,512 × 10⁷ = 164,5 MPa

Resposta

σ_max = 164,5 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = 76,72 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = −20/22,36 = −0,8944, sin 2θ_s = −(−10)/22,36 = 0,4472

2θ_s = atan2(10, −20) = 153,4°

Ângulo no elemento

θ_s = 76,72°

verificação: θ_s − θ_p = 76,72 − (−58,28) = 135°

Resposta

θ_s = 76,72°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 149,5 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 120 + 0·0,1736 + 30·0,9848 = 149,5 MPa

Resposta

σ_θ = 149,5 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 3,028 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 3,028 mm

Resposta

δ_max = 3,028 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 426,1 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·5000⁴/(384·11000·13,89) = 4,261 × 10⁸ mm⁴

I_req = 426,1 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 426,1 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 96,89 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·2500 = 2500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96,89 kN

Resposta

P_cr = 96,89 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 4,441 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/7,5 = 666,7

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666,7² = 4,441 MPa

Resposta

σ_cr = 4,441 MPa

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