Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de aço sob a carga axial.

P = 40 kNd = 12 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 75 kNtrecho 1: Ø30 mm, 1,5 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 2 m, aço (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 200 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 20 kW a 1450 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,5 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 50 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 20 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 1 m de A. Encontre o momento fletor M_x na seção x = 0,5 m a partir do engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 2 mP = 40 kN em 1 mw = 6 kN/m de 0 a 2 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 10 mP = 30 kN em 2 mw = 4 kN/m de 0 a 10 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma seção retangular vazada (caixão) tem largura externa B = 160 mm, altura externa H = 375 mm e espessura de parede uniforme t = 18 mm. Encontre seu raio de giração r em relação ao eixo centroidal horizontal.

B = 160 mmH = 375 mmt = 18 mm

r = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 50 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mmM = 50 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 100 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −60 MPa, σᵧ = 20 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 60° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = −60 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alumínio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 9 kNw = 8 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 15 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 15 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 3,537 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 40·1000/113,1 = 353,7 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 353,7/200000 = 0,001768 = 1768 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,001768·2000 mm = 3,537 mm

Resposta

δ = 3,537 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 238,7 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 106,1 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 238,7 MPa

Resposta

σ_max = 238,7 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 4,384 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(26000·251327) = 0,07652 rad

φ = 0,07652·180/π = 4,384°

Resposta

φ = 4,384°

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 24,28 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 131,7 N·m = 131714 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·131714/(π·50·0,9375)) = 24,28 mm

d_i = 0,5·24,28 = 12,14 mm

Resposta

d_o = 24,28 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 23,76 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = −26,75 kN·m

Fique com a parte da extremidade livre

P: −40·0,5 = −20 kN·m

w: −6·1,5²/2 = −6,75 kN·m

M_x = −20 − 6,75 = −26,75 kN·m

Resposta

M_x = −26,75 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 84,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·2 + 4·10·5

R_B = 260/10 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 26 = 44 kN

Onde V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (44 − 30)/4 = 3,5 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 2) − w·x₀²/2 = 84,5 kN·m

Resposta

M_max = 84,5 kN·m

Ele ocorre em x = 3,5 m a partir de A.

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: r = 129,3 mm

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada. O raio de giração r = √(I/A) é a distância na qual toda a área daria o mesmo I; ele é usado na flambagem de pilares.

Área e momento de inércia líquidos

b = 124 mm, h = 339 mm

A = BH − bh = 160·375 − 124·339 = 17964 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 3,006 × 10⁸ mm⁴

Raio de giração

r = √(I/A) = √(3,006 × 10⁸/17964) = 129,3 mm

Resposta

r = 129,3 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 347,5 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

alma: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·245 + 2400·120)/3400 = 156,8 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 100·10³/12 + 1000·(245 − 156,8)² = 7,794 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·240³/12 + 2400·(120 − 156,8)² = 1,476 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,794 × 10⁶ + 1,476 × 10⁷ = 2,256 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 156,8 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·156,8/2,256 × 10⁷ = 347,5 MPa

Resposta

σ_base = 347,5 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = −48,8 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = −10/75,66 = −0,1322, sin 2θ_s = −75/75,66 = −0,9912

2θ_s = atan2(−75, −10) = −97,59°

Ângulo no elemento

θ_s = −48,8°

verificação: θ_s − θ_p = −48,8 − (−3,797) = −45°

Resposta

θ_s = −48,8°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 17,32 MPa

Equação de transformação

σ_θ = −20 + −40·−0,5 + 20·0,866 = 17,32 MPa

Resposta

σ_θ = 17,32 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 53,57 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·6000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 53,57 mm

Resposta

δ_max = 53,57 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 34,09 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 9000 N, w = 8 N/mm, L = 3000 mm, EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·3000³/(48·3,96 × 10¹¹) = 12,78 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 21,31 mm

Some

δ_max = 12,78 + 21,31 = 34,09 mm

Resposta

δ_max = 34,09 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 9,914 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/2800² = 9914 N = 9,914 kN

Resposta

P_cr = 9,914 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 53,66 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 3·15000 = 45000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 53,66 mm

Resposta

d = 53,66 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 186,3, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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