Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 600 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de latão (diâmetro 50 mm, comprimento 500 mm, E = 100 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,4 mm no total.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPatrecho 2: latão, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

Uma haste de aço (diâmetro 40 mm, E = 200 GPa, tensão admissível 120 MPa) está dentro de um tubo de alumínio (diâmetro externo 100 mm, diâmetro interno 60 mm, E = 70 GPa, tensão admissível 60 MPa). Eles são comprimidos juntos entre placas rígidas. Encontre a maior carga P_max.

barra: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatubo: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 20 kW a 1000 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 50 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 20 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

30 kN @ 1 m60 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

35 kN @ 12 m25 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma seção retangular vazada (caixão) tem largura externa B = 300 mm, altura externa H = 375 mm e espessura de parede uniforme t = 14 mm. Encontre seu raio de giração r em relação ao eixo centroidal horizontal.

B = 300 mmH = 375 mmt = 14 mm

r = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 25 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmM = 25 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 110 MPa e σᵧ = 100 MPa. Até que valor a tensão de cisalhamento τ_xy (em módulo) pode chegar antes que a maior tensão principal atinja 135 MPa?

σ_x = 110 MPaσ_y = 100 MPaσ₁ = 135 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). O material tem tensão de escoamento de 350 MPa. Encontre o fator de segurança n contra o escoamento pelo critério de Tresca (tensão de cisalhamento máxima).

σ_x = 100 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (aço)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 50 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/250. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 1,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 50 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 135 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 135 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 33,07 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1963) = 2,546 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,4/1,21 × 10⁻⁵ = 33069 N = 33,07 kN

Resposta

P = 33,07 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: P_max = 361,9 kN

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5027 = 6,032 × 10⁸ N

Deformação governante

ε = min(0,0006, 0,0008571) = 0,0006 (aço)

Maior carga

P_max = 0,0006·6,032 × 10⁸ = 361911 N = 361,9 kN

Resposta

P_max = 361,9 kN

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 6,755 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(80000·79522) = 0,1179 rad

φ = 0,1179·180/π = 6,755°

Resposta

φ = 6,755°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 26,89 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·50)) = 26,89 mm

Resposta

d = 26,89 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 3 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 55 kN, R₂ = 35 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 55, M_C = 80, M_D = 105 kN·m, M_E = 70, M_F = 35, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 105 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 1,25 kN, R₂ = 58,75 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 2,5, M_C = −45, M_D = −92,5, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = −140 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: r = 143,2 mm

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada. O raio de giração r = √(I/A) é a distância na qual toda a área daria o mesmo I; ele é usado na flambagem de pilares.

Área e momento de inércia líquidos

b = 272 mm, h = 347 mm

A = BH − bh = 300·375 − 272·347 = 18116 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 3,713 × 10⁸ mm⁴

Raio de giração

r = √(I/A) = √(3,713 × 10⁸/18116) = 143,2 mm

Resposta

r = 143,2 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 195 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

alma: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·105 + 1200·50)/3200 = 84,38 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 200·10³/12 + 2000·(105 − 84,38)² = 867448 mm⁴

alma: 12·100³/12 + 1200·(50 − 84,38)² = 2,418 × 10⁶ mm⁴

I_x = 867448 + 2,418 × 10⁶ = 3,285 × 10⁶ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 110 − 84,38 = 25,63 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·25,63/3,285 × 10⁶ = 195 MPa

Resposta

σ_topo = 195 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_xy = 29,58 MPa

Raio necessário

C = (110 + 100)/2 = 105 MPa

R = σ₁ − C = 135 − 105 = 30 MPa

Tensão de cisalhamento

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 5²) = 29,58 MPa

Resposta

τ_xy = 29,58 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: n = 2,551

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 85 MPa, R = 52,2 MPa

σ₁ = 137,2 MPa, σ₂ = 32,8 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 137,2 MPa

n = 350/137,2 = 2,551

Resposta

n = 2,551

n > 1 significa que o ponto não escoa; Tresca é um pouco mais conservador que von Mises.

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 23,39 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 23,39 mm

Resposta

δ_max = 23,39 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 165,9 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·3500⁴/(384·11000·14) = 1,903 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·1,903 × 10⁷/50)^1/3 = 165,9 mm

Resposta

h_req = 165,9 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 313,9 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

Resposta

P_cr = 313,9 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 137,6 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·135000 = 337500 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 137,6 mm

Resposta

d = 137,6 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 174,4, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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