Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 400 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de latão (diâmetro 30 mm, comprimento 400 mm, E = 100 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,2 mm no total.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPatrecho 2: latão, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 30 mm, comprimento 300 mm, E = 200 GPa) e um trecho de latão (diâmetro 40 mm, comprimento 400 mm, E = 100 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 20 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPatrecho 2: latão, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 400 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão transmite 20 kW a 300 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 80 MPa e a torção não pode passar de 0,75° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mw = 5 kN/m de 0 a 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 4,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 40 kN em 2,5 mw = 2 kN/m de 0 a 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 120 mm × 200 mm tem um furo circular de diâmetro 60 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 80 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 200 mmd = 60 mmcentro do furo: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 60 MPa na tração e 100 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor negativo M_allow que a viga pode suportar (dê o seu módulo).

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 30 MPa e σᵧ = 100 MPa. Até que valor a tensão de cisalhamento τ_xy (em módulo) pode chegar antes que a maior tensão principal atinja 160 MPa?

σ_x = 30 MPaσ_y = 100 MPaσ₁ = 160 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 0 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 45° no sentido horário a partir do eixo x.

σ_x = 0 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 100 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/300. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 2,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 100 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 16,63 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·706,9) = 5,659 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,2/1,203 × 10⁻⁵ = 16632 N = 16,63 kN

Resposta

P = 16,63 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 6,366 MPa

Rigidezes

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 20000·314159/785398 = 8000 N

Tensão

σ₂ = 8000/1257 = 6,366 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 6,366 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 9,119 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(80000·15708) = 0,1592 rad

φ = 0,1592·180/π = 9,119°

Resposta

φ = 9,119°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 59,7 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·80)) = 34,35 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 59,7 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(34,35, 59,7) = 59,7 mm

Resposta

d = 59,7 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 22,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Corte em x = 3 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 15·3 − 5·3·1,5 = 22,5 kN·m

Resposta

M_x = 22,5 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 12,25 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·2,5 + 2·5·2,5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Corte em x = 4,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 25·4,5 − 40·(4,5 − 2,5) − 2·4,5·2,25 = 12,25 kN·m

Resposta

M_x = 12,25 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 78,08 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (24000·100 − 2827·80)/(24000 − 2827) = 102,7 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·200³/12 + 24000·−2,671² = 80,17 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−22,67² = 2,089 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 78,08 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 78,08 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 21,31 kN·m

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (3500·272,5 + 2600·130)/6100 = 211,8 mm

borda superior: c = 285 − 211,8 = 73,24 mm

Momento de inércia de área

I = 140·25³/12 + 3500·60,74² + 10·260³/12 + 2600·81,76² = 4,512 × 10⁷ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento negativo: a face superior fica tracionada, a inferior comprimida.

borda superior: M = 60·4,512 × 10⁷/73,24 = 36,97 kN·m

borda inferior: M = 100·4,512 × 10⁷/211,8 = 21,31 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 21,31 kN·m (borda inferior)

Resposta

M_allow = 21,31 kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_xy = 88,32 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio necessário

C = (30 + 100)/2 = 65 MPa

R = σ₁ − C = 160 − 65 = 95 MPa

Tensão de cisalhamento

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 35²) = 88,32 MPa

Resposta

τ_xy = 88,32 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 15 MPa

Equação de transformação

σ_θ = −25 + 25·0 + −40·−1 = 15 MPa

Resposta

σ_θ = 15 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 18,2 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·1,61 × 10¹²) = 18,2 mm

Resposta

δ = 18,2 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 165,9 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·3500⁴/(384·11000·11,67) = 3,806 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·3,806 × 10⁷/100)^1/3 = 165,9 mm

Resposta

h_req = 165,9 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 293,7 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/1400² = 293738 N = 293,7 kN

Resposta

P_cr = 293,7 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 15,67 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/5 = 210

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15,67 MPa

Resposta

σ_cr = 15,67 MPa

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