Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de aço, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 30 kNtrecho 1: Ø25 mm, 0,5 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 2 m, aço (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão com 2,5 m de comprimento suporta um torque de 500 N·m. O ângulo de torção entre suas extremidades não pode passar de 0,5°. Encontre o menor diâmetro d que atende a esse limite.

T = 500 N·mL = 2,5 mG = 39 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de aço transmite 20 kW a 1000 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 75 MPa e a torção não pode passar de 0,25° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 20 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 2 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mw = 5 kN/m de 0 a 6 mx = 2 m

V_x = kN

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 5 mw = 10 kN/m de 1 a 3 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil U está com o lado aberto para cima: uma chapa de base de 100 mm de largura com duas abas verticais, com altura total de 110 mm. Base e abas têm todas 10 mm de espessura. Encontre a altura ȳ do centroide acima da borda inferior.

b = 100 mmh = 110 mmt = 10 mm

ȳ = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 25 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmM = 25 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = −30 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 140 MPa, σᵧ = −30 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). O material tem tensão de escoamento de 420 MPa. Encontre o fator de segurança n contra o escoamento pelo critério de von Mises (energia de distorção).

σ_x = 140 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alumínio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 8 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (alumínio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (aço)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 884,2 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 20·1000/113,1 = 176,8 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 176,8/200000 = 0,0008842 = 884,2 µε

Resposta

ε = 884,2 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 1,108 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 61,12 MPa

σ₂ = 95,49 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 61,12·500/200000 = 0,1528 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 95,49·2000/200000 = 0,9549 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,108 mm

Resposta

δ = 1,108 mm

3.Torção de eixos

Resposta: d = 78,21 mm

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar necessário

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·2500/(39000·0,008727) = 3,673 × 10⁶ mm⁴

Diâmetro

d = (32J/π)^1/4 = 78,21 mm

Resposta

d = 78,21 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

4.Torção de eixos

Resposta: d = 48,59 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·75)) = 23,49 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 48,59 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(23,49, 48,59) = 48,59 mm

Resposta

d = 48,59 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = 5 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Corte em x = 2 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 15 − 5·2 = 5 kN

Resposta

V_x = 5 kN

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 19,2 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·2·2

R_B = 40/5 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 8 = 12 kN

Cortante nulo

O esforço cortante começa em R_A, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 12/10 = 2,2 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 12·2,2 − 10·1,2²/2 = 19,2 kN·m

Resposta

M_max = 19,2 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: ȳ = 41,67 mm

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em retângulos

Tome a base com a largura total e as duas abas acima dela (altura h − t), para que nada seja contado duas vezes.

base: A₁ = 100·10 = 1000 mm², y₁ = 5 mm

duas abas: A₂ = 2·10·100 = 2000 mm², y₂ = 10 + 100/2 = 60 mm

Centroide

ȳ = (1000·5 + 2000·60)/3000 = 41,67 mm

Resposta

ȳ = 41,67 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 38,93 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

alma: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·267,5 + 5200·130)/7900 = 177 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 180·15³/12 + 2700·(267,5 − 177)² = 2,217 × 10⁷ mm⁴

alma: 20·260³/12 + 5200·(130 − 177)² = 4,078 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,217 × 10⁷ + 4,078 × 10⁷ = 6,294 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 275 − 177 = 98,01 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·98,01/6,294 × 10⁷ = 38,93 MPa

Resposta

σ_topo = 38,93 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = 71,57 °

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = −40/50 = −0,8, sin 2θ_s = −(−30)/50 = 0,6

2θ_s = atan2(30, −40) = 143,1°

Ângulo no elemento

θ_s = 71,57°

verificação: θ_s − θ_p = 71,57 − (−63,43) = 135°

Resposta

θ_s = 71,57°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: n = 2,229

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 55 MPa, R = 104 MPa

σ₁ = 159 MPa, σ₂ = −49,04 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(159² − 159·(−49,04) + (−49,04)²) = 188,4 MPa

n = 420/188,4 = 2,229

Resposta

n = 2,229

n > 1 significa que o ponto não escoa; Tresca é um pouco mais conservador que von Mises.

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 5,022 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 5,022 mm

Resposta

δ_max = 5,022 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 274,3 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·8000⁴/(384·70000·22,22) = 2,743 × 10⁸ mm⁴

I_req = 274,3 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 274,3 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 158,8 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/5000² = 158752 N = 158,8 kN

Resposta

P_cr = 158,8 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 2,142 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/12,5 = 960

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/960² = 2,142 MPa

Resposta

σ_cr = 2,142 MPa

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