Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de alumínio, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 35 kNtrecho 1: Ø35 mm, 1 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço com 3 m de comprimento suporta um torque de 750 N·m. O ângulo de torção entre suas extremidades não pode passar de 2°. Encontre o menor diâmetro d que atende a esse limite.

T = 750 N·mL = 3 mG = 80 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 20 kW a 1500 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 40 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 20 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

35 kN @ 10 m50 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 6 mP = 60 kN em 5 mw = 12 kN/m de 0 a 6 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 200 mm × 150 mm tem um recorte retangular de 50 mm de largura e 50 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 97,5 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 150 mmrecorte: 50 × 50 mmcentro do furo: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −20 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = −20 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 80 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 45° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 80 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alumínio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 1 m do apoio B. Encontre a deflexão máxima δ_max da viga.

P = 17 kNb = 1 mL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (aço)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (alumínio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 10105 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 80·1000/113,1 = 707,4 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 707,4/70000 = 0,01011 = 10105 µε

Resposta

ε = 10105 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 2,424 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 36,38 MPa

σ₂ = 111,4 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 36,38·1000/70000 = 0,5197 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 111,4·2000/117000 = 1,904 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,424 mm

Resposta

δ = 2,424 mm

3.Torção de eixos

Resposta: d = 53,52 mm

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar necessário

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·3000/(80000·0,03491) = 805722 mm⁴

Diâmetro

d = (32J/π)^1/4 = 53,52 mm

Resposta

d = 53,52 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

4.Torção de eixos

Resposta: d = 25,31 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·40)) = 25,31 mm

Resposta

d = 25,31 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 6 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 30,83 kN, R₂ = 54,17 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 61,67, M_C = 123,3, M_D = 185 kN·m, M_E = 146,7, M_F = 108,3, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 185 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 88,17 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·5 + 12·6·3

R_B = 516/6 = 86 kN

ΣF_y = 0: R_A = 132 − 86 = 46 kN

Onde V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 46/12 = 3,833 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 46·3,833 − 12·3,833²/2 = 88,17 kN·m

Resposta

M_max = 88,17 kN·m

Ele ocorre em x = 3,833 m a partir de A.

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 32,86 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

alma: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·215 + 2400·100)/10200 = 187,9 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 260·30³/12 + 7800·(215 − 187,9)² = 6,296 × 10⁶ mm⁴

alma: 12·200³/12 + 2400·(100 − 187,9)² = 2,656 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,296 × 10⁶ + 2,656 × 10⁷ = 3,286 × 10⁷ mm⁴ = 32,86 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 32,86 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 54,35 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (30000·75 − 2500·97,5)/(30000 − 2500) = 72,95 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·150³/12 + 30000·2,045² = 56,38 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

50·50³/12 + 2500·24,55² = 2,027 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 54,35 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 54,35 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −75,13 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, −20 − 50) = −150,3°

Ângulo no elemento

θ_p = −75,13°

Resposta

θ_p = −75,13°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 100 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 80 + 0·0 + 20·1 = 100 MPa

Resposta

σ_θ = 100 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 16,56 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 16,56 mm

Resposta

δ_max = 16,56 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 64,76 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 17000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Posição do máximo

Igualar a zero a rotação no trecho mais longo dá a posição.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

Deflexão máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 64,76 mm

Resposta

δ_max = 64,76 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 466,3 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/2100² = 466251 N = 466,3 kN

Resposta

P_cr = 466,3 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 11,99 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Resposta

σ_cr = 11,99 MPa

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