Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de cobre, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 30 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 35 kNtrecho 1: Ø35 mm, 1,5 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 0,5 m, latão (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado transmite 30 kW a 500 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

P = 30 kWN = 500 rpmd_o = 100 mmd_i = 80 mm

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 8 mP₁ = 50 kN em 6 mP₂ = 25 kN em 7 m

M_max = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

15 kN @ 0 m35 kN @ 12 m4 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 150 mm × 300 mm tem um recorte retangular de 30 mm de largura e 20 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 120 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 300 mmrecorte: 30 × 20 mmcentro do furo: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 70 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = 70 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −10 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Encontre a tensão equivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = −10 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 40 MPa

σ_vM = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 2,5 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 11 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 6 kNw = 6 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 302,3 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 25·1000/706,9 = 35,37 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 35,37/117000 = 0,0003023 = 302,3 µε

Resposta

ε = 302,3 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 111,4 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 36,38 MPa

σ₂ = 111,4 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 111,4 MPa

Resposta

σ_max = 111,4 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 2,63 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(26000·251327) = 0,04591 rad

φ = 0,04591·180/π = 2,63°

Resposta

φ = 2,63°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 4,942 MPa

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Momento polar de inércia

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5,796 × 10⁶ mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 572958·50/5,796 × 10⁶ = 4,942 MPa

Resposta

τ_max = 4,942 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 93,75 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·6 + 25·7

R_B = 475/8 = 59,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 59,38 = 15,63 kN

Momento sob cada carga

Fique com a parte à esquerda de cada carga.

sob P₁: M = R_A·6 = 15,63·6 = 93,75 kN·m

sob P₂: M = R_B·1 = 59,38·1 = 59,38 kN·m

Maior valor

M_max = 93,75 kN·m (sob P₁)

Resposta

M_max = 93,75 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: F (x = 10 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 26 kN, R₂ = 56 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −16, M_D = −18, M_E = −36, M_F = −70 kN·m, M_G = 0

Resposta

Marca F: M_F = −70 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 16,65 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

alma: A_w = 14·160 = 2240 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·172,5 + 2240·80)/5740 = 136,4 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 140·25³/12 + 3500·(172,5 − 136,4)² = 4,743 × 10⁶ mm⁴

alma: 14·160³/12 + 2240·(80 − 136,4)² = 1,19 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,743 × 10⁶ + 1,19 × 10⁷ = 1,665 × 10⁷ mm⁴ = 16,65 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 16,65 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 336,9 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (45000·150 − 600·120)/(45000 − 600) = 150,4 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·300³/12 + 45000·−0,4054² = 337,5 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

30·20³/12 + 600·−30,41² = 0,5747 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 336,9 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 336,9 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = 39,35 °

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, 70 − 50) = 78,69°

Ângulo no elemento

θ_p = 39,35°

Resposta

θ_p = 39,35°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_vM = 83,07 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 15 MPa, R = 47,17 MPa

σ₁ = 62,17 MPa, σ₂ = −32,17 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(62,17² − 62,17·(−32,17) + (−32,17)²) = 83,07 MPa

Resposta

σ_vM = 83,07 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 50,95 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 11000 N, a = 2500 mm, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 11000·2500²·1500²/(3·2,53 × 10¹¹·4000) = 50,95 mm

Resposta

δ_P = 50,95 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 3,231 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 6000 N, w = 6 N/mm, L = 1500 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·1500³/(48·2,53 × 10¹¹) = 1,667 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·1500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 1,563 mm

Some

δ_max = 1,667 + 1,563 = 3,231 mm

Resposta

δ_max = 3,231 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 9,646 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/750² = 9646 N = 9,646 kN

Resposta

P_cr = 9,646 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 179 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/10 = 105

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Resposta

σ_cr = 179 MPa

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