Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 300 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de bronze (diâmetro 30 mm, comprimento 200 mm, E = 110 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,2 mm no total.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPatrecho 2: bronze, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 40 mm, comprimento 600 mm, E = 200 GPa) e um trecho de cobre (diâmetro 40 mm, comprimento 400 mm, E = 120 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 50 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 750 N·md = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de alumínio transmite 10 kW a 1000 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 60 MPa e a torção não pode passar de 1° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 10 kWN = 1000 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 5 mP₁ = 65 kN em 2 mP₂ = 35 kN em 3 m

M_max = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 5 mP = 75 kN em 2,5 mw = 6 kN/m de 0 a 5 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 5 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 20 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (tração positiva). O elemento é girado 50° no sentido anti-horário. Encontre a tensão normal σ_y′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.

σ_x = 20 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 140 MPa, σᵧ = 100 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 15° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 140 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 0,5 m de A. Encontre a deflexão δ_B na extremidade livre B.

P = 13 kNa = 0,5 mL = 4 mE = 70 GPa (alumínio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 125 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/300. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 125 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 5 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 5 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 27,22 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·706,9) = 2,572 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,2/7,347 × 10⁻⁶ = 27223 N = 27,22 kN

Resposta

P = 27,22 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 18,85 MPa

Rigidezes

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 50000·376991/795870 = 23684 N

Tensão

σ₂ = 23684/1257 = 18,85 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 18,85 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 20,26 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(80000·79522) = 0,3537 rad

φ = 0,3537·180/π = 20,26°

Resposta

φ = 20,26°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 38,26 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 10000/104,7 = 95,49 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

d_τ = ∛(16·95493/(π·60)) = 20,09 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·95493/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 38,26 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(20,09, 38,26) = 38,26 mm

Resposta

d = 38,26 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 106 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 65·2 + 35·3

R_B = 235/5 = 47 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 47 = 53 kN

Momento sob cada carga

Fique com a parte à esquerda de cada carga.

sob P₁: M = R_A·2 = 53·2 = 106 kN·m

sob P₂: M = R_B·2 = 47·2 = 94 kN·m

Maior valor

M_max = 106 kN·m (sob P₁)

Resposta

M_max = 106 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 112,5 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 75·2,5 + 6·5·2,5

R_B = 262,5/5 = 52,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 52,5 = 52,5 kN

Onde V = 0?

V(2,5⁻) = R_A − w·2,5 = 37,5 kN

V(2,5⁺) = 37,5 − 75 = −37,5 kN

O cortante muda de sinal na carga, então o máximo fica sob a carga.

Momento máximo

M_max = R_A·2,5 − w·2,5²/2 = 52,5·2,5 − 6·2,5²/2 = 112,5 kN·m

Resposta

M_max = 112,5 kN·m

Ele ocorre em x = 2,5 m a partir de A.

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 64,39 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

alma: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·267,5 + 4160·130)/8660 = 201,4 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 300·15³/12 + 4500·(267,5 − 201,4)² = 1,972 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·260³/12 + 4160·(130 − 201,4)² = 4,467 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,972 × 10⁷ + 4,467 × 10⁷ = 6,439 × 10⁷ mm⁴ = 64,39 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 64,39 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 7,167 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

alma: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·215 + 2000·100)/9200 = 190 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 240·30³/12 + 7200·(215 − 190)² = 5,04 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·200³/12 + 2000·(100 − 190)² = 2,287 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,04 × 10⁶ + 2,287 × 10⁷ = 2,791 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 230 − 190 = 40 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·40/2,791 × 10⁷ = 7,167 MPa

Resposta

σ_topo = 7,167 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_y′ = 100,7 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação para a face y′

σ_y′ = 70 − (−50)·(−0,1736) − (−40)·0,9848 = 100,7 MPa

Verificação

A soma das tensões normais não muda com a rotação.

σ_x′ = 39,29 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 140 = σ_x + σ_y

Resposta

σ_y′ = 100,7 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 122,3 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 120 + 20·0,866 + −30·0,5 = 122,3 MPa

Resposta

σ_θ = 122,3 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_B = 2,472 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 13000 N, a = 500 mm, L = 4000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,2149 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0006448 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2,472 mm

Resposta

δ_B = 2,472 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 154,4 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·10) = 3,835 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·3,835 × 10⁷/125)^1/3 = 154,4 mm

Resposta

h_req = 154,4 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 3,598 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/5000² = 3598 N = 3,598 kN

Resposta

P_cr = 3,598 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 55,1 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 55,1 mm

Resposta

d = 55,1 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 363, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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