Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de alumínio sob a carga axial.

P = 30 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 100 kNtrecho 1: Ø40 mm, 0,5 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 0,5 m, alumínio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 500 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado transmite 10 kW a 500 rpm. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

P = 10 kWN = 500 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 6 mP₁ = 20 kN em 3 mP₂ = 65 kN em 4 m

M_max = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

10 kN @ 12 m55 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um tubo circular tem diâmetro externo D = 230 mm e diâmetro interno d = 202 mm. Encontre seu raio de giração r em relação ao eixo centroidal horizontal.

D = 230 mmd = 202 mm

r = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 20 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 20 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −80 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = −80 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −70 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Encontre a tensão equivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = −50 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 4,5 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 10 kNa = 4,5 mL = 8 mE = 70 GPa (alumínio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 50 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/300. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 1,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 50 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 40 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 40 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,9095 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 30·1000/706,9 = 42,44 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 42,44/70000 = 0,0006063 = 606,3 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,0006063·1500 mm = 0,9095 mm

Resposta

δ = 0,9095 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 884,2 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 79,58 MPa

σ₂ = 884,2 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 884,2 MPa

Resposta

σ_max = 884,2 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 3,591 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(26000·613592) = 0,06268 rad

φ = 0,06268·180/π = 3,591°

Resposta

φ = 3,591°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 20 MPa

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Momento polar de inércia

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Tensão de cisalhamento máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·20/190984 = 20 MPa

Resposta

τ_max = 20 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 106,7 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·3 + 65·4

R_B = 320/6 = 53,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 53,33 = 31,67 kN

Momento sob cada carga

Fique com a parte à esquerda de cada carga.

sob P₁: M = R_A·3 = 31,67·3 = 95 kN·m

sob P₂: M = R_B·2 = 53,33·2 = 106,7 kN·m

Maior valor

M_max = 106,7 kN·m (sob P₂)

Resposta

M_max = 106,7 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 6 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 20 kN, R₂ = 45 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 80, M_D = 120 kN·m, M_E = 50, M_F = −20, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 120 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: r = 76,53 mm

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada. O raio de giração r = √(I/A) é a distância na qual toda a área daria o mesmo I; ele é usado na flambagem de pilares.

Área e momento de inércia líquidos

A = π(D² − d²)/4 = 9500 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5,564 × 10⁷ mm⁴

Raio de giração

r = √(I/A) = √(5,564 × 10⁷/9500) = 76,53 mm

Resposta

r = 76,53 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 110 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

alma: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·192,5 + 2880·90)/9880 = 162,6 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·25³/12 + 7000·(192,5 − 162,6)² = 6,614 × 10⁶ mm⁴

alma: 16·180³/12 + 2880·(90 − 162,6)² = 2,296 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,614 × 10⁶ + 2,296 × 10⁷ = 2,958 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 162,6 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·162,6/2,958 × 10⁷ = 110 MPa

Resposta

σ_base = 110 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 61,03 MPa

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((−80 − −10)/2)² + −50²) = 61,03 MPa

Resposta

τ_max = 61,03 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_vM = 81,24 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = −60 MPa, R = 31,62 MPa

σ₁ = −28,38 MPa, σ₂ = −91,62 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √((−28,38)² − (−28,38)·(−91,62) + (−91,62)²) = 81,24 MPa

Resposta

σ_vM = 81,24 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 9,229 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 10000 N, a = 4500 mm, b = 3500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 10000·4500²·3500²/(3·1,12 × 10¹³·8000) = 9,229 mm

Resposta

δ_P = 9,229 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 176,3 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·3500⁴/(384·11000·11,67) = 2,284 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·2,284 × 10⁷/50)^1/3 = 176,3 mm

Resposta

h_req = 176,3 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 10,74 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/3500² = 10742 N = 10,74 kN

Resposta

P_cr = 10,74 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 61,34 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 61,34 mm

Resposta

d = 61,34 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 130,4, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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