Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de alumínio, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 40 mm, comprimento 400 mm, E = 200 GPa) e um trecho de latão (diâmetro 60 mm, comprimento 500 mm, E = 100 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 20 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatrecho 2: latão, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 400 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão transmite 30 kW a 500 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 80 MPa e a torção não pode passar de 0,25° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 30 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 3,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mw = 10 kN/m de 0 a 6 mx = 3,5 m

V_x = kN

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 50 kN em 2,5 mw = 4 kN/m de 0 a 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 120 mm × 150 mm tem um furo circular de diâmetro 60 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 97,5 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 150 mmd = 60 mmcentro do furo: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 20 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mmM = 20 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = −10 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (tração positiva). O elemento é girado 60° no sentido anti-horário. Encontre a tensão normal σ_y′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.

σ_x = −10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um tanque cilíndrico de parede fina com diâmetro interno de 1200 mm e espessura de parede de 15 mm contém gás a uma pressão manométrica de 1 MPa. Ele é feito de chapa soldada ao longo de uma costura helicoidal a 20° do eixo do cilindro. Encontre a tensão normal σ_n que atua através da costura de solda.

D = 1200 mmt = 15 mmp = 1 MPaα = 20°

σ_n = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 2,5 m de A. Encontre a deflexão δ_B na extremidade livre B.

P = 4 kNa = 2,5 mL = 6 mE = 200 GPa (aço)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 13 kNw = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 2132 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/201,1 = 149,2 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 149,2/70000 = 0,002132 = 2132 µε

Resposta

ε = 2132 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 3,351 MPa

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Rigidezes

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 100000·2827/500 = 565487 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 20000·565487/1,194 × 10⁶ = 9474 N

Tensão

σ₂ = 9474/2827 = 3,351 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 3,351 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 8,868 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(39000·79522) = 0,1548 rad

φ = 0,1548·180/π = 8,868°

Resposta

φ = 8,868°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 76,53 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 573 N·m = 572958 N·mm

d_τ = ∛(16·572958/(π·80)) = 33,16 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·572958/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 76,53 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(33,16, 76,53) = 76,53 mm

Resposta

d = 76,53 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = −5 kN

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Corte em x = 3,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 30 − 10·3,5 = −5 kN

Resposta

V_x = −5 kN

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 62 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2,5 + 4·5·2,5

R_B = 175/5 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 35 = 35 kN

Corte em x = 3 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 35·3 − 50·(3 − 2,5) − 4·3·1,5 = 62 kN·m

Resposta

M_x = 62 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 31,42 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (18000·75 − 2827·97,5)/(18000 − 2827) = 70,81 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·150³/12 + 18000·4,193² = 34,07 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·60⁴/64 + 2827·26,69² = 2,651 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 31,42 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 31,42 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 200,1 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

alma: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·175 + 1600·80)/8800 = 157,7 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 240·30³/12 + 7200·(175 − 157,7)² = 2,688 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·160³/12 + 1600·(80 − 157,7)² = 1,308 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,688 × 10⁶ + 1,308 × 10⁷ = 1,577 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 157,7 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·157,7/1,577 × 10⁷ = 200,1 MPa

Resposta

σ_base = 200,1 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_y′ = −39,46 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação para a face y′

σ_y′ = 35 − (−45)·(−0,5) − 60·0,866 = −39,46 MPa

Verificação

A soma das tensões normais não muda com a rotação.

σ_x′ = 109,5 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 70 = σ_x + σ_y

Resposta

σ_y′ = −39,46 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_n = 37,66 MPa

Tensões na parede

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 1·600/15 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

Transforme para a costura

Tome x ao longo do eixo (σ_a) e y na direção circunferencial (σ_h). A normal da costura forma 90° − α com o eixo.

σ_n = 20·sin²20° + 40·cos²20° = 37,66 MPa

Resposta

σ_n = 37,66 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_B = 2,691 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 4000 N, a = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,8681 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0005208 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2,691 mm

Resposta

δ_B = 2,691 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 23,41 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 13000 N, w = 20 N/mm, L = 5000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 13000·5000³/(48·8,4 × 10¹²) = 4,03 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 19,38 mm

Some

δ_max = 4,03 + 19,38 = 23,41 mm

Resposta

δ_max = 23,41 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 233,9 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·1500 = 1500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/1500² = 233946 N = 233,9 kN

Resposta

P_cr = 233,9 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 7,676 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/5 = 300

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Resposta

σ_cr = 7,676 MPa

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