Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de alumínio, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 105 kNtrecho 1: Ø35 mm, 0,5 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 1 m, aço (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo vazado de latão (diâmetro externo 60 mm, diâmetro interno 42 mm, comprimento 1,5 m) está fixo em uma extremidade e é torcido por um torque de 750 N·m na outra. Encontre o ângulo de torção φ em graus.

T = 750 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão com diâmetro 25 mm está fixo em A. Um torque de 100 N·m atua em B, a 1 m de A, e um torque de 250 N·m no mesmo sentido atua na extremidade livre C, 0,5 m adiante. Encontre o módulo do ângulo de torção φ_C da extremidade C, em graus.

d = 25 mmT_B = 100 N·mT_C = 250 N·mAB = 1 mBC = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P₁ entre os apoios e uma carga concentrada P₂ em C. Encontre o momento fletor M_x sob a carga P₁. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 9 mP₁ = 15 kN em 2 mP₂ = 20 kN em 9 mapoios em x = 0 e x = 8 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mP = 35 kN em 4 mw = 10 kN/m de 0 a 8 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 200 mm × 150 mm tem um furo circular de diâmetro 30 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 60 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 150 mmd = 30 mmcentro do furo: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 35 MPa na tração e 120 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor negativo M_allow que a viga pode suportar (dê o seu módulo).

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 80 MPa, σᵧ = 110 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (tração positiva). O elemento é girado 20° no sentido anti-horário. Encontre a tensão normal σ_y′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.

σ_x = 80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um eixo maciço de diâmetro 20 mm suporta um momento fletor de 100 N·m junto com um torque de 250 N·m. Na superfície superior, onde a tensão de flexão é de tração e máxima, encontre a maior tensão principal σ₁.

d = 20 mmM = 100 N·mT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P na extremidade livre. Usando superposição, encontre a deflexão δ na extremidade livre.

P = 22 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (aço)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 2 m do apoio B. Encontre a deflexão δ_mid no meio do vão.

P = 22 kNb = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (aço)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (alumínio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 6750 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 95·1000/201,1 = 472,5 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 472,5/70000 = 0,00675 = 6750 µε

Resposta

ε = 6750 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 2,217 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 109,1 MPa

σ₂ = 334,2 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 109,1·500/100000 = 0,5457 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 334,2·1000/200000 = 1,671 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,217 mm

Resposta

δ = 2,217 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 1,709 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Ângulo de torção

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·1500/(39000·966855) = 0,02984 rad

φ = 0,02984·180/π = 1,709°

Resposta

φ = 1,709°

4.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 18,2 °

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 100 = 350 N·m

Torção de cada trecho

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 350000·1000/(39000·38350) = 0,234 rad

φ_BC = 250000·500/(39000·38350) = 0,08358 rad

Torção da extremidade C

φ_C = 0,234 + 0,08358 = 0,3176 rad → |φ_C| = 18,2°

Resposta

φ_C = 18,2°

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 17,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira. A carga do balanço também gera momento em relação a A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·2 + 20·9

R_B = 210/8 = 26,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 26,25 = 8,75 kN

Corte sob P₁ e fique com a parte esquerda

M_x = R_A·2 = 8,75·2 = 17,5 kN·m

Resposta

M_x = 17,5 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 140 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·4 + 10·8·4

R_B = 460/8 = 57,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 57,5 = 57,5 kN

Corte em x = 3,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 57,5·3,5 − 10·3,5·1,75 = 140 kN·m

Resposta

M_x = 140 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 56,05 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (30000·75 − 706,9·60)/(30000 − 706,9) = 75,36 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·150³/12 + 30000·−0,362² = 56,25 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−15,36² = 0,2066 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 56,05 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 56,05 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 11,7 kN·m

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (1000·305 + 3000·150)/4000 = 188,8 mm

borda superior: c = 310 − 188,8 = 121,3 mm

Momento de inércia de área

I = 100·10³/12 + 1000·116,3² + 10·300³/12 + 3000·38,75² = 4,053 × 10⁷ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento negativo: a face superior fica tracionada, a inferior comprimida.

borda superior: M = 35·4,053 × 10⁷/121,3 = 11,7 kN·m

borda inferior: M = 120·4,053 × 10⁷/188,8 = 25,77 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 11,7 kN·m (borda superior)

Resposta

M_allow = 11,7 kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_y′ = 67,92 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação para a face y′

σ_y′ = 95 − (−15)·0,766 − 60·0,6428 = 67,92 MPa

Verificação

A soma das tensões normais não muda com a rotação.

σ_x′ = 122,1 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 190 = σ_x + σ_y

Resposta

σ_y′ = 67,92 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ₁ = 235,1 MPa

Tensões na superfície

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·20³) = 127,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 63,66 MPa

R = √(63,66² + 159,2²) = 171,4 MPa

σ₁ = C + R = 235,1 MPa

σ₂ = C − R = −107,8 MPa

Resposta

σ₁ = 235,1 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 58,04 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 22000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(3EI) = 22000·2000³/(3·1,7 × 10¹²) = 34,51 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 20·2000⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 23,53 mm

Some

δ = 34,51 + 23,53 = 58,04 mm

Resposta

δ = 58,04 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_mid = 49,61 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 22000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Deflexão no meio do vão

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 22000·2000·(3·6000² − 4·2000²)/(48·1,7 × 10¹²) = 49,61 mm

Resposta

δ_mid = 49,61 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 313,9 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

Resposta

P_cr = 313,9 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 6,747 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6,25 = 320

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

Resposta

σ_cr = 6,747 MPa

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Resistência dos Materiais: pacote de revisão

1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Torção de eixos

Método

Esforço cortante e momento fletor

Método

Centroide e momento de inércia

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Método

Deflexão da viga

Flambagem de pilares

2Exercícios

3Soluções

Tensão

Deformação (lei de Hooke)

Resposta

A mesma força nos dois trechos

Some os alongamentos dos trechos

Resposta

Momento polar de inércia

Ângulo de torção

Resposta

Torques internos

Torção de cada trecho

Torção da extremidade C

Resposta

Reações de apoio

Corte sob P1 e fique com a parte esquerda

Resposta

Reações de apoio

Corte em x = 3,5 m e fique com a parte esquerda

Resposta

Centroide

Placa inteira em torno de ȳ

Furo em torno de ȳ

Subtraia

Resposta

Centroide

Momento de inércia de área

Momento admitido por cada borda

Valor determinante

Resposta

Equação de transformação para a face y′

Verificação

Resposta

Tensões na superfície

Círculo de Mohr

Resposta

Unidades consistentes

Cada carga sozinha

Some

Resposta

Unidades consistentes

Deflexão no meio do vão

Resposta

Menor momento de inércia

Comprimento efetivo

Carga crítica

Resposta

Menor momento de inércia

Raio de giração e esbeltez

Tensão crítica

Resposta

Corte sob P₁ e fique com a parte esquerda