Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 25 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de latão (diâmetro externo 80 mm, diâmetro interno 60 mm, E = 100 GPa). Ambos têm 600 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 50 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 50 kNbarra: Ø25 mm, E = 200 GPatubo: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 30 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 2 m, latão (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 250 N·md = 30 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de aço transmite 50 kW a 1450 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 80 MPa e a torção não pode passar de 1° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 50 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 4,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mw = 3 kN/m de 0 a 8 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mP = 50 kN em 2 mw = 2 kN/m de 0 a 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil U está com o lado aberto para cima: uma chapa de base de 280 mm de largura com duas abas verticais, com altura total de 110 mm. Base e abas têm todas 16 mm de espessura. Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

b = 280 mmh = 110 mmt = 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I soldado tem mesa superior de 190 × 16 mm, alma de 230 mm de altura e 14 mm de espessura, e mesa inferior de 300 × 14 mm (largura × espessura). Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

mesa superior: 190 × 16 mmalma: 14 × 230 mmmesa inferior: 300 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 60 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = 60 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 160 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 30° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 160 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 5 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 3 kNa = 5 mL = 8 mE = 200 GPa (aço)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 1 m do apoio B. Encontre a deflexão máxima δ_max da viga.

P = 7 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (alumínio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (aço)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,09431 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·2199 = 3,181 × 10⁸ N

Encurtamento

δ = 50000·600/3,181 × 10⁸ = 0,09431 mm

Resposta

δ = 0,09431 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 265,3 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 61,12 MPa

σ₂ = 265,3 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 265,3 MPa

Resposta

σ_max = 265,3 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 13,86 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(39000·79522) = 0,2418 rad

φ = 0,2418·180/π = 13,86°

Resposta

φ = 13,86°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 39,37 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 329,3 N·m = 329286 N·mm

d_τ = ∛(16·329286/(π·80)) = 27,57 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·329286/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 39,37 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(27,57, 39,37) = 39,37 mm

Resposta

d = 39,37 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 23,63 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·8·4

R_B = 96/8 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Corte em x = 4,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 12·4,5 − 3·4,5·2,25 = 23,63 kN·m

Resposta

M_x = 23,63 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 52,5 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·2 + 2·8·4

R_B = 164/8 = 20,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 66 − 20,5 = 45,5 kN

Corte em x = 5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 45,5·5 − 50·(5 − 2) − 2·5·2,5 = 52,5 kN·m

Resposta

M_x = 52,5 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 7,754 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em retângulos

Tome a base com a largura total e as duas abas acima dela (altura h − t), para que nada seja contado duas vezes.

base: A₁ = 280·16 = 4480 mm², y₁ = 8 mm

duas abas: A₂ = 2·16·94 = 3008 mm², y₂ = 16 + 94/2 = 63 mm

Centroide

ȳ = (4480·8 + 3008·63)/7488 = 30,09 mm

Teorema dos eixos paralelos

base: 280·16³/12 + 4480·(8 − 30,09)² = 2,282 × 10⁶ mm⁴

duas abas: 2·16·94³/12 + 3008·(63 − 30,09)² = 5,472 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,282 × 10⁶ + 5,472 × 10⁶

I_x = 7,754 × 10⁶ mm⁴ = 7,754 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 7,754 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 121 × 10⁶ mm⁴

Divida em três retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa superior: A = 3040 mm², y = 252 mm

alma: A = 3220 mm², y = 129 mm

mesa inferior: A = 4200 mm², y = 7 mm

Centroide

ȳ = (3040·252 + 3220·129 + 4200·7)/10460 = 115,8 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa superior: 190·16³/12 + 3040·136,2² = 5,649 × 10⁷ mm⁴

alma: 14·230³/12 + 3220·13,24² = 1,476 × 10⁷ mm⁴

mesa inferior: 300·14³/12 + 4200·108,8² = 4,975 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,649 × 10⁷ + 1,476 × 10⁷ + 4,975 × 10⁷

I_x = 1,21 × 10⁸ mm⁴ = 121 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 121 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 41,23 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((60 − 40)/2)² + −40²) = 41,23 MPa

Resposta

τ_max = 41,23 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 96,7 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 120 + 40·0,5 + −50·0,866 = 96,7 MPa

Resposta

σ_θ = 96,7 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 16,54 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 3000 N, a = 5000 mm, b = 3000 mm, L = 8000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 3000·5000²·3000²/(3·1,7 × 10¹²·8000) = 16,54 mm

Resposta

δ_P = 16,54 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 2,588 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 7000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Posição do máximo

Igualar a zero a rotação no trecho mais longo dá a posição.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Deflexão máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 2,588 mm

Resposta

δ_max = 2,588 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 20,47 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·3000 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/3000² = 20470 N = 20,47 kN

Resposta

P_cr = 20,47 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 8,567 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12,5 = 480

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

Resposta

σ_cr = 8,567 MPa

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