Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 20 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de bronze (diâmetro externo 100 mm, diâmetro interno 70 mm, E = 110 GPa). Ambos têm 800 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 150 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 150 kNbarra: Ø20 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 100 kNtrecho 1: Ø35 mm, 2 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 1 m, latão (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Em um ensaio de torção, um corpo de prova maciço de diâmetro 15 mm é torcido por um torque de 100 N·m. As duas extremidades de um comprimento de referência de 200 mm giram 5,91° uma em relação à outra (o material ainda está no regime elástico). Encontre o módulo de elasticidade transversal G do material.

T = 100 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 5,91°

G = GPa

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 10 kW a 500 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 80 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 4 mw = 2 kN/m de 0 a 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

25 kN @ 12 m4 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 100 mm × 150 mm tem um furo circular de diâmetro 40 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 52,5 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 100 mmh = 150 mmd = 40 mmcentro do furo: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 40 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmM = 40 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 0 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = 0 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −40 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 40° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = −40 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 0,5 m de A. Encontre a deflexão δ_B na extremidade livre B.

P = 13 kNa = 0,5 mL = 6 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (aço)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 125 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 125 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,2384 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·4006 = 5,034 × 10⁸ N

Encurtamento

δ = 150000·800/5,034 × 10⁸ = 0,2384 mm

Resposta

δ = 0,2384 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 7,052 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 103,9 MPa

σ₂ = 497,4 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 103,9·2000/100000 = 2,079 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 497,4·1000/100000 = 4,974 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,052 mm

Resposta

δ = 7,052 mm

3.Torção de eixos

Resposta: G = 39,01 GPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar e ângulo

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 5,91·π/180 = 0,1031 rad

Módulo de cisalhamento

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·200/(4970·0,1031) = 39012 MPa

G = 39,01 GPa

Resposta

G = 39,01 GPa

Compare: aço ≈ 80 GPa, latão ≈ 39 GPa, alumínio ≈ 26 GPa.

4.Torção de eixos

Resposta: d = 22,99 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·80)) = 22,99 mm

Resposta

d = 22,99 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 3,75 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Corte em x = 1,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 4·1,5 − 2·1,5·0,75 = 3,75 kN·m

Resposta

M_x = 3,75 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: F (x = 10 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 15 kN, R₂ = 50 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 22, M_C = 28, M_D = 18, M_E = −8, M_F = −50 kN·m, M_G = 0

Resposta

Marca F: M_F = −50 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 27,3 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (15000·75 − 1257·52,5)/(15000 − 1257) = 77,06 mm

Placa inteira em torno de ȳ

100·150³/12 + 15000·−2,057² = 28,19 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−24,56² = 0,8835 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 27,3 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 27,3 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 80,36 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

alma: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·152,5 + 2520·70)/9520 = 130,7 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·25³/12 + 7000·(152,5 − 130,7)² = 3,703 × 10⁶ mm⁴

alma: 18·140³/12 + 2520·(70 − 130,7)² = 1,339 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,703 × 10⁶ + 1,339 × 10⁷ = 1,709 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 165 − 130,7 = 34,34 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·34,34/1,709 × 10⁷ = 80,36 MPa

Resposta

σ_topo = 80,36 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −58,28 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 0 − 60) = −116,6°

Ângulo no elemento

θ_p = −58,28°

Resposta

θ_p = −58,28°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 16,26 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 40 + −80·0,1736 + −10·0,9848 = 16,26 MPa

Resposta

σ_θ = 16,26 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_B = 10,26 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 13000 N, a = 500 mm, L = 6000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,5862 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001759 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 10,26 mm

Resposta

δ_B = 10,26 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 7,5 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·4000⁴/(384·200000·11,11) = 7,5 × 10⁶ mm⁴

I_req = 7,5 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 7,5 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 16,82 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·1500 = 1500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1500² = 16822 N = 16,82 kN

Resposta

P_cr = 16,82 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 62,73 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 62,73 mm

Resposta

d = 62,73 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 127,5, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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