Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 20 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de latão (diâmetro externo 80 mm, diâmetro interno 50 mm, E = 100 GPa). Ambos têm 400 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 150 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 150 kNbarra: Ø20 mm, E = 200 GPatubo: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 50 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 0,5 m, alumínio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo vazado de latão (diâmetro externo 50 mm, diâmetro interno 35 mm, comprimento 3 m) está fixo em uma extremidade e é torcido por um torque de 750 N·m na outra. Encontre o ângulo de torção φ em graus.

T = 750 N·md_o = 50 mmd_i = 35 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 15 kW a 300 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,5 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 80 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 15 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

15 kN @ 3 m50 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

30 kN @ 12 m10 kN @ 4 m10 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 120 mm × 150 mm tem um furo circular de diâmetro 40 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 105 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mmcentro do furo: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 10 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mmM = 10 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 50 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (tração positiva). O elemento é girado 50° no sentido anti-horário. Encontre a tensão normal σ_y′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.

σ_x = 50 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 130 MPa, σᵧ = 0 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 15° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 130 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alumínio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas iguais P nos terços do vão (a L/3 de cada apoio). Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 18 kNL = 5 mE = 200 GPa (aço)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (aço)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (aço)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,1625 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·3063 = 3,691 × 10⁸ N

Encurtamento

δ = 150000·400/3,691 × 10⁸ = 0,1625 mm

Resposta

δ = 0,1625 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 3,082 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 101,9 MPa

σ₂ = 248,7 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 101,9·1500/117000 = 1,306 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 248,7·500/70000 = 1,776 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,082 mm

Resposta

δ = 3,082 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 7,089 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Ângulo de torção

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·3000/(39000·466269) = 0,1237 rad

φ = 0,1237·180/π = 7,089°

Resposta

φ = 7,089°

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 31,89 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·80·0,9375)) = 31,89 mm

d_i = 0,5·31,89 = 15,94 mm

Resposta

d_o = 31,89 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 31,21 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 2 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 40,83 kN, R₂ = 24,17 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 40,83, M_C = 81,67 kN·m, M_D = 72,5, M_E = 48,33, M_F = 24,17, M_G = 0

Resposta

Marca C: M_C = 81,67 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 4 m)

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 50 kN, R₂ = 90 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 80, M_C = 120 kN·m, M_D = 100, M_E = 40, M_F = −60, M_G = 0

Resposta

Marca C: M_C = 120 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 32,41 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (18000·75 − 1257·105)/(18000 − 1257) = 72,75 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·150³/12 + 18000·2,252² = 33,84 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·40⁴/64 + 1257·32,25² = 1,433 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 32,41 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 32,41 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 7,748 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

alma: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·295 + 2800·140)/11200 = 256,3 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·30³/12 + 8400·(295 − 256,3)² = 1,324 × 10⁷ mm⁴

alma: 10·280³/12 + 2800·(140 − 256,3)² = 5,613 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,324 × 10⁷ + 5,613 × 10⁷ = 6,938 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 310 − 256,3 = 53,75 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·53,75/6,938 × 10⁷ = 7,748 MPa

Resposta

σ_topo = 7,748 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_y′ = −36,43 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação para a face y′

σ_y′ = 5 − 45·(−0,1736) − 50·0,9848 = −36,43 MPa

Verificação

A soma das tensões normais não muda com a rotação.

σ_x′ = 46,43 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

Resposta

σ_y′ = −36,43 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 96,29 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 65 + 65·0,866 + −50·0,5 = 96,29 MPa

Resposta

σ_θ = 96,29 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 1,004 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 1,004 mm

Resposta

δ_max = 1,004 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 2,496 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 18000 N, L = 5000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Uma carga em L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 1,248 mm

Some as duas cargas

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 2,496 mm

Resposta

δ_max = 2,496 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 29,24 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/1500² = 29243 N = 29,24 kN

Resposta

P_cr = 29,24 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 64,45 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/20 = 175

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/175² = 64,45 MPa

Resposta

σ_cr = 64,45 MPa

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