Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de cobre sob a carga axial.

P = 10 kNd = 30 mmL = 3 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 600 mm, E = 200 GPa) e um trecho de cobre (diâmetro 30 mm, comprimento 300 mm, E = 120 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 50 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 750 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de aço transmite 30 kW a 500 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 60 MPa e a torção não pode passar de 0,5° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 30 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M₀ = 60 kN·m em x = 1 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor M_x logo à esquerda do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mM₀ = 60 kN·m no sentido horário, em 1 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 2 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 35 kN em 2 mw = 6 kN/m de 0 a 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 120 mm × 240 mm tem um furo circular de diâmetro 50 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 156 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 240 mmd = 50 mmcentro do furo: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 230 mm de largura e 10 mm de espessura, altura total de 480 mm e alma de 6 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 120 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão σ_j na junção da alma com a mesa superior.

B = 230 mmH = 480 mmt_f = 10 mmt_w = 6 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 40 MPa e σᵧ = −50 MPa. Até que valor a tensão de cisalhamento τ_xy (em módulo) pode chegar antes que a maior tensão principal atinja 95 MPa?

σ_x = 40 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 95 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um eixo maciço de diâmetro 40 mm suporta uma força axial de compressão de 180 kN junto com um torque de 250 N·m. Na superfície do eixo, encontre a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

d = 40 mmF = −180 kNT = 250 N·m

τ_max = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 1 m de A. Encontre a deflexão δ_B na extremidade livre B.

P = 20 kNa = 1 mL = 2,5 mE = 200 GPa (aço)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre a reação R_B no apoio B.

L = 3 mP = 50 kN em 1,5 m

R_B = kN

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (aço)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,3627 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 10·1000/706,9 = 14,15 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 14,15/117000 = 0,0001209 = 120,9 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,0001209·3000 mm = 0,3627 mm

Resposta

δ = 0,3627 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 51,62 MPa

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Rigidezes

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 120000·706,9/300 = 282743 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 50000·282743/387463 = 36486 N

Tensão

σ₂ = 36486/706,9 = 51,62 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 51,62 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 17,1 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(80000·15708) = 0,2984 rad

φ = 0,2984·180/π = 17,1°

Resposta

φ = 17,1°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 53,77 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 573 N·m = 572958 N·mm

d_τ = ∛(16·572958/(π·60)) = 36,5 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·572958/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 53,77 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(36,5, 53,77) = 53,77 mm

Resposta

d = 53,77 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = −12 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.

Reações de apoio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: R_B·L − M₀ = 0. Equilíbrio vertical: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/5 = 12 kN (para cima)

R_A = −R_B = −12 kN (para baixo)

Corte logo à esquerda do binário

A parte esquerda contém apenas R_A.

M_x = R_A·a = −12·1 = −12 kN·m

Resposta

M_x = −12 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 60 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2 + 6·5·2,5

R_B = 145/5 = 29 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 29 = 36 kN

Corte em x = 2 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 36·2 − 6·2·1 = 60 kN·m

Resposta

M_x = 60 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 135,2 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (28800·120 − 1963·156)/(28800 − 1963) = 117,4 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·240³/12 + 28800·2,634² = 138,4 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·50⁴/64 + 1963·38,63² = 3,237 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 135,2 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 135,2 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_j = 91,17 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 480 − 2·10 = 460 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·480³ − 224·460³)/12

I_x = 3,027 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

y = 240 − 10 = 230 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·230/3,027 × 10⁸ = 91,17 MPa

Resposta

σ_j = 91,17 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_xy = 89,3 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio necessário

C = (40 + (−50))/2 = −5 MPa

R = σ₁ − C = 95 − (−5) = 100 MPa

Tensão de cisalhamento

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(100² − 45²) = 89,3 MPa

Resposta

τ_xy = 89,3 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 74,33 MPa

Tensões na superfície

σ = F/A = −180000/(π·40²/4) = −180000/1257 = −143,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·40³) = 19,89 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = −71,62 MPa

R = √((−71,62)² + 19,89²) = 74,33 MPa

Resposta

τ_max = 74,33 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_B = 4,71 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 20000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,449 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002174 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 4,71 mm

Resposta

δ_B = 4,71 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: R_B = 15,63 kN

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·50/16 = 15,63 kN

Resposta

R_B = 15,63 kN

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 15,99 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·3000 = 6000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/6000² = 15992 N = 15,99 kN

Resposta

P_cr = 15,99 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 6,294 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/7,5 = 560

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/560² = 6,294 MPa

Resposta

σ_cr = 6,294 MPa

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