Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de cobre sob a carga axial.

P = 10 kNd = 12 mmL = 3 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 65 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1,5 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 1 m, latão (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 200 N·md = 25 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão com diâmetro 60 mm está fixo a paredes rígidas nas duas extremidades A e B. Um torque de 400 N·m é aplicado em C, a 3 m de A e a 1,2 m de B. Encontre o torque de reação T_A na parede A.

d = 60 mmT₀ = 400 N·ma = 3 mb = 1,2 m

T_A = N·m

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 7,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mw = 4 kN/m de 0 a 8 mx = 7,5 m

V_x = kN

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 4 mw = 10 kN/m de 0 a 3 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 150 mm × 300 mm tem um furo circular de diâmetro 30 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 90 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 300 mmd = 30 mmcentro do furo: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 15 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mmM = 15 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 70 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (tração positiva). O elemento é girado 20° no sentido anti-horário. Encontre a tensão normal σ_y′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.

σ_x = 70 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 110 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 25° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 110 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a rotação θ_A da viga no apoio A, em radianos.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 125 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/250. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 2 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 125 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (aço)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 2,267 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/113,1 = 88,42 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 88,42/117000 = 0,0007557 = 755,7 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,0007557·3000 mm = 2,267 mm

Resposta

δ = 2,267 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 574,7 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 132,4 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 574,7 MPa

Resposta

σ_max = 574,7 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 7,662 °

Momento polar de inércia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(39000·38350) = 0,1337 rad

φ = 0,1337·180/π = 7,662°

Resposta

φ = 7,662°

4.Torção de eixos

Resposta: T_A = 114,3 N·m

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω. Quando as duas extremidades estão fixas, a estática sozinha dá apenas T_A + T_B = T₀; a segunda equação é a compatibilidade (torções iguais das duas partes na seção carregada).

Equilíbrio e compatibilidade

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·1,2/4,2 = 114,3 N·m

T_B = 400·3/4,2 = 285,7 N·m

Resposta

T_A = 114,3 N·m

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = −14 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Corte em x = 7,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 16 − 4·7,5 = −14 kN

Resposta

V_x = −14 kN

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 17,58 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, atuando em x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·3·1,5

R_B = 45/4 = 11,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 11,25 = 18,75 kN

Cortante nulo

O esforço cortante começa em R_A, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 18,75/10 = 1,875 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 18,75·1,875 − 10·1,875²/2 = 17,58 kN·m

Resposta

M_max = 17,58 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 334,9 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (45000·150 − 706,9·90)/(45000 − 706,9) = 151 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·300³/12 + 45000·−0,9575² = 337,5 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−60,96² = 2,666 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 334,9 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 334,9 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 30,4 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 300 + 25/2 = 312,5 mm

alma: A_w = 20·300 = 6000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·312,5 + 6000·150)/9500 = 209,9 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 140·25³/12 + 3500·(312,5 − 209,9)² = 3,705 × 10⁷ mm⁴

alma: 20·300³/12 + 6000·(150 − 209,9)² = 6,651 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,705 × 10⁷ + 6,651 × 10⁷ = 1,036 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 209,9 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·209,9/1,036 × 10⁸ = 30,4 MPa

Resposta

σ_base = 30,4 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_y′ = 53,96 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação para a face y′

σ_y′ = 50 − 20·0,766 − (−30)·0,6428 = 53,96 MPa

Verificação

A soma das tensões normais não muda com a rotação.

σ_x′ = 46,04 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 100 = σ_x + σ_y

Resposta

σ_y′ = 53,96 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 37,25 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 35 + 75·0,6428 + −60·0,766 = 37,25 MPa

Resposta

σ_θ = 37,25 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: θ_A = 0,01684 rad

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). A rotação θ = dv/dx é a primeira integral de M/(EI); em unidades consistentes ela sai em radianos.

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Rotação na extremidade

θ_A = wL³/(24EI) = 20·2000³/(24·3,96 × 10¹¹) = 0,01684 rad

Resposta

θ_A = 0,01684 rad

Isso equivale a 0,9646°.

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 134,6 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3500⁴/(384·11000·14) = 2,538 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·2,538 × 10⁷/125)^1/3 = 134,6 mm

Resposta

h_req = 134,6 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 5,888 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·1500 = 1500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1500² = 5888 N = 5,888 kN

Resposta

P_cr = 5,888 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 34,27 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Resposta

σ_cr = 34,27 MPa

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