Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de aço sob a carga axial.

P = 115 kNd = 25 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 35 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 2 m, latão (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo vazado de aço (diâmetro externo 50 mm, diâmetro interno 38 mm, comprimento 1,2 m) está fixo em uma extremidade e é torcido por um torque de 400 N·m na outra. Encontre o ângulo de torção φ em graus.

T = 400 N·md_o = 50 mmd_i = 38 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 20 kW a 1500 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 80 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 20 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 2,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mw = 12 kN/m de 0 a 10 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 1 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 4 mP = 55 kN em 1,5 mw = 8 kN/m de 0 a 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 120 mm × 300 mm tem um furo circular de diâmetro 40 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 105 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmcentro do furo: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 35 MPa na tração e 100 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor positivo M_allow que a viga pode suportar.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 110 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = 110 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um eixo maciço de diâmetro 40 mm suporta um momento fletor de 500 N·m junto com um torque de 250 N·m. Na superfície superior, onde a tensão de flexão é de tração e máxima, encontre a maior tensão principal σ₁.

d = 40 mmM = 500 N·mT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alumínio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. EI é constante. Encontre o módulo do momento fletor M_A no engaste.

L = 6 mw = 15 kN/m

M_A = kN·m

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (aço)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 1,171 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 115·1000/490,9 = 234,3 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 234,3/200000 = 0,001171 = 1171 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,001171·1000 mm = 1,171 mm

Resposta

δ = 1,171 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 309,5 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 71,3 MPa

σ₂ = 309,5 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 309,5 MPa

Resposta

σ_max = 309,5 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 0,8408 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Ângulo de torção

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1200/(80000·408885) = 0,01467 rad

φ = 0,01467·180/π = 0,8408°

Resposta

φ = 0,8408°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 20,09 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·80)) = 20,09 mm

Resposta

d = 20,09 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 112,5 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

Corte em x = 2,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 60·2,5 − 12·2,5·1,25 = 112,5 kN·m

Resposta

M_x = 112,5 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 46,38 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, atuando em x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1,5 + 8·4·2

R_B = 146,5/4 = 36,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 87 − 36,63 = 50,38 kN

Corte em x = 1 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 50,38·1 − 8·1·0,5 = 46,38 kN·m

Resposta

M_x = 46,38 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 267,2 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (36000·150 − 1257·105)/(36000 − 1257) = 151,6 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·300³/12 + 36000·−1,628² = 270,1 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−46,63² = 2,858 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 267,2 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 267,2 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 1,873 kN·m

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (2500·132,5 + 1200·60)/3700 = 109 mm

borda superior: c = 145 − 109 = 36,01 mm

Momento de inércia de área

I = 100·25³/12 + 2500·23,51² + 10·120³/12 + 1200·48,99² = 5,832 × 10⁶ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento positivo: a face superior fica comprimida, a inferior tracionada.

borda superior: M = 100·5,832 × 10⁶/36,01 = 16,19 kN·m

borda inferior: M = 35·5,832 × 10⁶/109 = 1,873 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 1,873 kN·m (borda inferior)

Resposta

M_allow = 1,873 kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −35,78 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 110 − 70) = −71,57°

Ângulo no elemento

θ_p = −35,78°

Resposta

θ_p = −35,78°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ₁ = 84,27 MPa

Tensões na superfície

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·40³) = 79,58 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·40³) = 19,89 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 39,79 MPa

R = √(39,79² + 19,89²) = 44,49 MPa

σ₁ = C + R = 84,27 MPa

σ₂ = C − R = −4,696 MPa

Resposta

σ₁ = 84,27 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 11,2 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 11,2 mm

Resposta

δ_max = 11,2 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: M_A = 67,5 kN·m

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·6/8 = 33,75 kN

Momento no engaste

Momentos em relação a A das cargas e da força do apoio.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 270 − 202,5 = 67,5 kN·m

Resposta

M_A = 67,5 kN·m

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 3,672 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/3500² = 3672 N = 3,672 kN

Resposta

P_cr = 3,672 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 27,76 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Resposta

σ_cr = 27,76 MPa

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