Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 25 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de cobre (diâmetro externo 100 mm, diâmetro interno 70 mm, E = 120 GPa). Ambos têm 300 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 50 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 50 kNbarra: Ø25 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 35 kNtrecho 1: Ø40 mm, 0,5 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço escalonado de latão está fixo em A. O trecho AB tem diâmetro 60 mm e comprimento 1,2 m; o trecho BC tem diâmetro 30 mm e comprimento 1,2 m. Um torque de 400 N·m atua na extremidade livre C. Encontre o ângulo de torção φ_C da extremidade C, em graus.

T = 400 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 30 mm, L₂ = 1,2 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de alumínio com diâmetro 50 mm está fixo a paredes rígidas nas duas extremidades A e B. Um torque de 250 N·m é aplicado em C, a 1 m de A e a 2,5 m de B. Encontre o torque de reação T_A na parede A.

d = 50 mmT₀ = 250 N·ma = 1 mb = 2,5 m

T_A = N·m

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 3,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mw = 5 kN/m de 0 a 5 mx = 3,5 m

V_x = kN

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 30 kN em 3,5 mw = 5 kN/m de 0 a 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um tubo circular tem diâmetro externo D = 170 mm e diâmetro interno d = 158 mm. Encontre seu raio de giração r em relação ao eixo centroidal horizontal.

D = 170 mmd = 158 mm

r = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 10 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 180 mmM = 10 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −50 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = −50 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −80 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 25° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a rotação θ_A da viga no apoio A, em radianos.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (aço)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre a reação R_B no apoio B.

L = 3 mP = 50 kN em 1,5 m

R_B = kN

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (aço)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,02591 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·4006 = 5,788 × 10⁸ N

Encurtamento

δ = 50000·300/5,788 × 10⁸ = 0,02591 mm

Resposta

δ = 0,02591 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 4,166 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 27,85 MPa

σ₂ = 309,5 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 27,85·500/70000 = 0,1989 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 309,5·1500/117000 = 3,968 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,166 mm

Resposta

δ = 4,166 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 9,422 °

Momentos polares

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Torção de cada trecho

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 400000·1200/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,009673 rad

φ_BC = 400000·1200/(39000·79522) = 0,1548 rad

Torção total

φ_C = 0,009673 + 0,1548 = 0,1644 rad = 9,422°

Resposta

φ_C = 9,422°

4.Torção de eixos

Resposta: T_A = 178,6 N·m

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω. Quando as duas extremidades estão fixas, a estática sozinha dá apenas T_A + T_B = T₀; a segunda equação é a compatibilidade (torções iguais das duas partes na seção carregada).

Equilíbrio e compatibilidade

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·2,5/3,5 = 178,6 N·m

T_B = 250·1/3,5 = 71,43 N·m

Resposta

T_A = 178,6 N·m

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = −5 kN

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

Corte em x = 3,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 12,5 − 5·3,5 = −5 kN

Resposta

V_x = −5 kN

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 44,63 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·3,5 + 5·5·2,5

R_B = 167,5/5 = 33,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 33,5 = 21,5 kN

Corte em x = 3,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 21,5·3,5 − 5·3,5·1,75 = 44,63 kN·m

Resposta

M_x = 44,63 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: r = 58,02 mm

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada. O raio de giração r = √(I/A) é a distância na qual toda a área daria o mesmo I; ele é usado na flambagem de pilares.

Área e momento de inércia líquidos

A = π(D² − d²)/4 = 3091 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,041 × 10⁷ mm⁴

Raio de giração

r = √(I/A) = √(1,041 × 10⁷/3091) = 58,02 mm

Resposta

r = 58,02 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 20,66 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

alma: A_w = 8·180 = 1440 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·190 + 1440·90)/6640 = 168,3 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 260·20³/12 + 5200·(190 − 168,3)² = 2,619 × 10⁶ mm⁴

alma: 8·180³/12 + 1440·(90 − 168,3)² = 1,272 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,619 × 10⁶ + 1,272 × 10⁷ = 1,534 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 200 − 168,3 = 31,69 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·31,69/1,534 × 10⁷ = 20,66 MPa

Resposta

σ_topo = 20,66 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −58,28 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, −50 − −20) = −116,6°

Ângulo no elemento

θ_p = −58,28°

Resposta

θ_p = −58,28°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = −36,62 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 20 + −100·0,6428 + 10·0,766 = −36,62 MPa

Resposta

σ_θ = −36,62 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: θ_A = 0,01159 rad

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). A rotação θ = dv/dx é a primeira integral de M/(EI); em unidades consistentes ela sai em radianos.

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Rotação na extremidade

θ_A = wL³/(24EI) = 20·4000³/(24·4,6 × 10¹²) = 0,01159 rad

Resposta

θ_A = 0,01159 rad

Isso equivale a 0,6643°.

12.Deflexão da viga

Resposta: R_B = 15,63 kN

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). Para uma viga estaticamente indeterminada, retire um apoio redundante e exija que a deflexão ali seja zero (compatibilidade).

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·50/16 = 15,63 kN

Resposta

R_B = 15,63 kN

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 96,89 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96,89 kN

Resposta

P_cr = 96,89 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 4,819 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/6,25 = 640

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4,819 MPa

Resposta

σ_cr = 4,819 MPa

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