Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de latão, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 10 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1,5 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 2 m, latão (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 250 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de aço com diâmetro 60 mm está fixo em A. Um torque de 1000 N·m atua em B, a 0,8 m de A, e um torque de 1500 N·m no sentido oposto atua na extremidade livre C, 1 m adiante. Encontre o módulo do ângulo de torção φ_C da extremidade C, em graus.

d = 60 mmT_B = 1000 N·mT_C = 1500 N·mAB = 0,8 mBC = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

40 kN @ 2 m30 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 9,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mP = 35 kN em 4 mw = 6 kN/m de 0 a 10 mx = 9,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 150 mm × 150 mm tem um furo circular de diâmetro 50 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 105 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mmcentro do furo: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 30 MPa na tração e 90 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor negativo M_allow que a viga pode suportar (dê o seu módulo).

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −30 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = −30 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). O material tem tensão de escoamento de 250 MPa. Encontre o fator de segurança n contra o escoamento pelo critério de von Mises (energia de distorção).

σ_x = 120 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alumínio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 9 kNw = 15 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (aço)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Ele deve suportar 30 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 30 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 203,7 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 10·1000/490,9 = 20,37 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for latão = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 20,37/100000 = 0,0002037 = 203,7 µε

Resposta

ε = 203,7 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 1,921 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 20,37 MPa

σ₂ = 88,42 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 20,37·1500/200000 = 0,1528 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 88,42·2000/100000 = 1,768 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,921 mm

Resposta

δ = 1,921 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 5,629 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(80000·79522) = 0,09824 rad

φ = 0,09824·180/π = 5,629°

Resposta

φ = 5,629°

4.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 1,07 °

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 1000 = 500 N·m

Torção de cada trecho

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 500000·800/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,00393 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·1000/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,01474 rad

Torção da extremidade C

φ_C = 0,00393 + 0,01474 = 0,01867 rad → |φ_C| = 1,07°

Resposta

φ_C = 1,07°

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 6 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 48,33 kN, R₂ = 21,67 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 96,67, M_C = 113,3, M_D = 130 kN·m, M_E = 86,67, M_F = 43,33, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 130 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 21,25 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·4 + 6·10·5

R_B = 440/10 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 44 = 51 kN

Corte em x = 9,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 51·9,5 − 35·(9,5 − 4) − 6·9,5·4,75 = 21,25 kN·m

Resposta

M_x = 21,25 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 39,94 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (22500·75 − 1963·105)/(22500 − 1963) = 72,13 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·150³/12 + 22500·2,868² = 42,37 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·50⁴/64 + 1963·32,87² = 2,428 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 39,94 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 39,94 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 20,2 kN·m

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (2400·307,5 + 4800·150)/7200 = 202,5 mm

borda superior: c = 315 − 202,5 = 112,5 mm

Momento de inércia de área

I = 160·15³/12 + 2400·105² + 16·300³/12 + 4800·52,5² = 7,574 × 10⁷ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento negativo: a face superior fica tracionada, a inferior comprimida.

borda superior: M = 30·7,574 × 10⁷/112,5 = 20,2 kN·m

borda inferior: M = 90·7,574 × 10⁷/202,5 = 33,66 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 20,2 kN·m (borda superior)

Resposta

M_allow = 20,2 kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 50 MPa

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((−30 − 50)/2)² + −30²) = 50 MPa

Resposta

τ_max = 50 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: n = 2,373

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 90 MPa, R = 31,62 MPa

σ₁ = 121,6 MPa, σ₂ = 58,38 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(121,6² − 121,6·58,38 + 58,38²) = 105,4 MPa

n = 250/105,4 = 2,373

Resposta

n = 2,373

n > 1 significa que o ponto não escoa; Tresca é um pouco mais conservador que von Mises.

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 22,86 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 6·4000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 22,86 mm

Resposta

δ = 22,86 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 12,57 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 9000 N, w = 15 N/mm, L = 2500 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·2500³/(48·8,4 × 10¹¹) = 3,488 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 9,083 mm

Some

δ_max = 3,488 + 9,083 = 12,57 mm

Resposta

δ_max = 12,57 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 5,849 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/3000² = 5849 N = 5,849 kN

Resposta

P_cr = 5,849 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 49,09 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 3·30000 = 90000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 49,09 mm

Resposta

d = 49,09 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 203,7, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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