Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 600 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de cobre (diâmetro 50 mm, comprimento 500 mm, E = 120 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,4 mm no total.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 25 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 2 m, aço (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo vazado de alumínio (diâmetro externo 75 mm, diâmetro interno 53 mm, comprimento 1,2 m) está fixo em uma extremidade e é torcido por um torque de 500 N·m na outra. Encontre o ângulo de torção φ em graus.

T = 500 N·md_o = 75 mmd_i = 53 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de aço com diâmetro 40 mm está fixo em A. Um torque de 250 N·m atua em B, a 0,8 m de A, e um torque de 500 N·m no mesmo sentido atua na extremidade livre C, 0,8 m adiante. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

d = 40 mmT_B = 250 N·mT_C = 500 N·mAB = 0,8 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 5 m de A. Encontre o momento fletor M_x na seção x = 0,5 m a partir do engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 80 kN em 5 mw = 10 kN/m de 0 a 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mP = 25 kN em 3 mw = 5 kN/m de 0 a 10 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 100 mm × 240 mm tem um furo circular de diâmetro 40 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 168 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 100 mmh = 240 mmd = 40 mmcentro do furo: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma viga de ferro fundido tem a seção T mostrada, com a mesa em cima. As tensões admissíveis são 60 MPa na tração e 100 MPa na compressão. Encontre o maior momento fletor negativo M_allow que a viga pode suportar (dê o seu módulo).

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 160 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 20 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Encontre a tensão equivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = 130 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 40 MPa

σ_vM = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (aço)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre o módulo do momento fletor M_A no engaste.

L = 5 mP = 15 kN em 2,5 m

M_A = kN·m

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (aço)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 120 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 120 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 34,27 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1963) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,4/1,167 × 10⁻⁵ = 34272 N = 34,27 kN

Resposta

P = 34,27 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 1,498 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 50,93 MPa

σ₂ = 124,3 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 50,93·1000/200000 = 0,2546 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 124,3·2000/200000 = 1,243 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,498 mm

Resposta

δ = 1,498 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 0,5671 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2,332 × 10⁶ mm⁴

Ângulo de torção

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·1200/(26000·2,332 × 10⁶) = 0,009897 rad

φ = 0,009897·180/π = 0,5671°

Resposta

φ = 0,5671°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 59,68 MPa

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 250 = 750 N·m

Tensão de cisalhamento máxima

O trecho com o maior torque interno tem a maior tensão (mesmo diâmetro).

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

Resposta

τ_max = 59,68 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = −461,3 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Fique com a parte da extremidade livre

P: −80·4,5 = −360 kN·m

w: −10·4,5²/2 = −101,3 kN·m

M_x = −360 − 101,3 = −461,3 kN·m

Resposta

M_x = −461,3 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 105 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·3 + 5·10·5

R_B = 325/10 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 32,5 = 42,5 kN

Corte em x = 3 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 42,5·3 − 5·3·1,5 = 105 kN·m

Resposta

M_x = 105 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 112 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (24000·120 − 1257·168)/(24000 − 1257) = 117,3 mm

Placa inteira em torno de ȳ

100·240³/12 + 24000·2,652² = 115,4 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·40⁴/64 + 1257·50,65² = 3,35 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 112 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 112 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: M_allow = 10,29 kN·m

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (5200·130 + 2400·60)/7600 = 107,9 mm

borda superior: c = 140 − 107,9 = 32,11 mm

Momento de inércia de área

I = 260·20³/12 + 5200·22,11² + 20·120³/12 + 2400·47,89² = 1,11 × 10⁷ mm⁴

Momento admitido por cada borda

Momento negativo: a face superior fica tracionada, a inferior comprimida.

borda superior: M = 60·1,11 × 10⁷/32,11 = 20,74 kN·m

borda inferior: M = 100·1,11 × 10⁷/107,9 = 10,29 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 10,29 kN·m (borda inferior)

Resposta

M_allow = 10,29 kN·m

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = −61,85 °

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = −40/72,11 = −0,5547, sin 2θ_s = −60/72,11 = −0,8321

2θ_s = atan2(−60, −40) = −123,7°

Ângulo no elemento

θ_s = −61,85°

verificação: θ_s − θ_p = −61,85 − (−16,85) = −45°

Resposta

θ_s = −61,85°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_vM = 139,6 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 75 MPa, R = 68,01 MPa

σ₁ = 143 MPa, σ₂ = 6,993 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(143² − 143·6,993 + 6,993²) = 139,6 MPa

Resposta

σ_vM = 139,6 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 4,521 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 4,521 mm

Resposta

δ_max = 4,521 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: M_A = 14,06 kN·m

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·15/16 = 4,688 kN

Momento no engaste

Momentos em relação a A das cargas e da força do apoio.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 37,5 − 23,44 = 14,06 kN·m

Resposta

M_A = 14,06 kN·m

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 177,7 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·1000 = 1000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1000² = 177653 N = 177,7 kN

Resposta

P_cr = 177,7 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 109,1 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·120000 = 300000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 109,1 mm

Resposta

d = 109,1 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 146,7, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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