Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 25 mm, comprimento 500 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de latão (diâmetro 40 mm, comprimento 300 mm, E = 100 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,2 mm no total.

trecho 1: aço, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPatrecho 2: latão, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 75 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1,5 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 0,5 m, latão (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo vazado de alumínio (diâmetro externo 80 mm, diâmetro interno 60 mm, comprimento 2 m) está fixo em uma extremidade e é torcido por um torque de 500 N·m na outra. Encontre o ângulo de torção φ em graus.

T = 500 N·md_o = 80 mmd_i = 60 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 75 kW a 1500 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 60 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 75 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 8 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mw = 8 kN/m de 0 a 10 mx = 8 m

V_x = kN

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

15 kN @ 0 m40 kN @ 6 m20 kN @ 2 m6 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I soldado tem mesa superior de 200 × 22 mm, alma de 270 mm de altura e 10 mm de espessura, e mesa inferior de 300 × 24 mm (largura × espessura). Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

mesa superior: 200 × 22 mmalma: 10 × 270 mmmesa inferior: 300 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 20 MPa, com σ_z = 0. Encontre a tensão de cisalhamento máxima absoluta τ_abs no ponto (considerando todos os planos em três dimensões).

σ_x = 70 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 150 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τ_θ em um plano cuja normal está girada 30° no sentido horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P na extremidade livre. Usando superposição, encontre a deflexão δ na extremidade livre.

P = 21 kNw = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alumínio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 100 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/250. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 3 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 100 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 26,74 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,2/7,48 × 10⁻⁶ = 26737 N = 26,74 kN

Resposta

P = 26,74 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 373 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 152,8 MPa

σ₂ = 373 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 373 MPa

Resposta

σ_max = 373 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 0,8017 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

Ângulo de torção

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·2000/(26000·2,749 × 10⁶) = 0,01399 rad

φ = 0,01399·180/π = 0,8017°

Resposta

φ = 0,8017°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 34,35 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·60)) = 34,35 mm

Resposta

d = 34,35 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = −24 kN

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Corte em x = 8 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 40 − 8·8 = −24 kN

Resposta

V_x = −24 kN

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: F (x = 5 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 35,75 kN, R₂ = 63,25 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = 2,75, M_D = −5,5, M_E = −19,75, M_F = −40 kN·m, M_G = 0

Resposta

Marca F: M_F = −40 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 73,22 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

alma: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·275 + 4680·130)/8880 = 198,6 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 140·30³/12 + 4200·(275 − 198,6)² = 2,484 × 10⁷ mm⁴

alma: 18·260³/12 + 4680·(130 − 198,6)² = 4,838 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,484 × 10⁷ + 4,838 × 10⁷ = 7,322 × 10⁷ mm⁴ = 73,22 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 73,22 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 254,2 × 10⁶ mm⁴

Divida em três retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa superior: A = 4400 mm², y = 305 mm

alma: A = 2700 mm², y = 159 mm

mesa inferior: A = 7200 mm², y = 12 mm

Centroide

ȳ = (4400·305 + 2700·159 + 7200·12)/14300 = 129,9 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa superior: 200·22³/12 + 4400·175,1² = 1,351 × 10⁸ mm⁴

alma: 10·270³/12 + 2700·29,09² = 1,869 × 10⁷ mm⁴

mesa inferior: 300·24³/12 + 7200·117,9² = 1,004 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,351 × 10⁸ + 1,869 × 10⁷ + 1,004 × 10⁸

I_x = 2,542 × 10⁸ mm⁴ = 254,2 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 254,2 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_abs = 39,14 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Em três dimensões a tensão de cisalhamento máxima absoluta é (σ_max − σ_min)/2 considerando as três tensões principais; no estado plano de tensão a terceira é zero.

Tensões principais no plano

C = 50 MPa, R = √(20² + 20²) = 28,28 MPa

σ₁ = 78,28 MPa, σ₂ = 21,72 MPa, σ_z = 0

O maior dos três círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(56,57, 78,28, 21,72)/2 = 39,14 MPa

Resposta

τ_abs = 39,14 MPa

Aqui o círculo fora do plano governa: o máximo absoluto é maior que o máximo no plano R.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_θ = 58,97 MPa

Equação de transformação

τ_θ = −45·−0,866 + 40·0,5 = 58,97 MPa

Resposta

τ_θ = 58,97 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 60,95 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 21000 N, w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(3EI) = 21000·4000³/(3·8,4 × 10¹²) = 53,33 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 7,619 mm

Some

δ = 53,33 + 7,619 = 60,95 mm

Resposta

δ = 60,95 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 165,9 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·14) = 3,806 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·3,806 × 10⁷/100)^1/3 = 165,9 mm

Resposta

h_req = 165,9 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 109,9 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·2000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109,9 kN

Resposta

P_cr = 109,9 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 87,73 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/10 = 150

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Resposta

σ_cr = 87,73 MPa

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