Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de latão, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 10 kNtrecho 1: Ø30 mm, 0,5 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 75 kW a 1450 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,75 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 75 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 75 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 6 mP₁ = 35 kN em 4,5 mP₂ = 70 kN em 5 m

M_max = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mP = 55 kN em 5 mw = 10 kN/m de 0 a 8 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 150 mm × 240 mm tem um furo circular de diâmetro 30 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 156 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 240 mmd = 30 mmcentro do furo: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 25 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mmM = 25 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 150 MPa, σᵧ = 20 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −10 MPa, σᵧ = 0 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). O material tem tensão de escoamento de 275 MPa. Encontre o fator de segurança n contra o escoamento pelo critério de Tresca (tensão de cisalhamento máxima).

σ_x = −10 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (alumínio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 1910 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 15·1000/78,54 = 191 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for latão = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 191/100000 = 0,00191 = 1910 µε

Resposta

ε = 1910 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 88,42 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 14,15 MPa

σ₂ = 88,42 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 88,42 MPa

Resposta

σ_max = 88,42 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 3,288 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·251327) = 0,05739 rad

φ = 0,05739·180/π = 3,288°

Resposta

φ = 3,288°

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 36,61 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 493,9 N·m = 493929 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·493929/(π·75·0,6836)) = 36,61 mm

d_i = 0,75·36,61 = 27,46 mm

Resposta

d_o = 36,61 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 32,25 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 91,88 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·4,5 + 70·5

R_B = 507,5/6 = 84,58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 84,58 = 20,42 kN

Momento sob cada carga

Fique com a parte à esquerda de cada carga.

sob P₁: M = R_A·4,5 = 20,42·4,5 = 91,88 kN·m

sob P₂: M = R_B·1 = 84,58·1 = 84,58 kN·m

Maior valor

M_max = 91,88 kN·m (sob P₁)

Resposta

M_max = 91,88 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 178,1 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·5 + 10·8·4

R_B = 595/8 = 74,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 74,38 = 60,63 kN

Corte em x = 5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 60,63·5 − 10·5·2,5 = 178,1 kN·m

Resposta

M_x = 178,1 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 171,8 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (36000·120 − 706,9·156)/(36000 − 706,9) = 119,3 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·240³/12 + 36000·0,721² = 172,8 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·36,72² = 0,9929 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 171,8 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 171,8 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 51,19 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

alma: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·235 + 2200·110)/5800 = 187,6 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 120·30³/12 + 3600·(235 − 187,6)² = 8,363 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·220³/12 + 2200·(110 − 187,6)² = 2,212 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,363 × 10⁶ + 2,212 × 10⁷ = 3,048 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 250 − 187,6 = 62,41 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·62,41/3,048 × 10⁷ = 51,19 MPa

Resposta

σ_topo = 51,19 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = −32,61 °

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = 30/71,59 = 0,4191, sin 2θ_s = −65/71,59 = −0,908

2θ_s = atan2(−65, 30) = −65,22°

Ângulo no elemento

θ_s = −32,61°

verificação: θ_s − θ_p = −32,61 − 12,39 = −45°

Resposta

θ_s = −32,61°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: n = 2,736

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = −5 MPa, R = 50,25 MPa

σ₁ = 45,25 MPa, σ₂ = −55,25 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 100,5 MPa

n = 275/100,5 = 2,736

Resposta

n = 2,736

n > 1 significa que o ponto não escoa; Tresca é um pouco mais conservador que von Mises.

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 16,41 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·5,95 × 10¹¹) = 16,41 mm

Resposta

δ = 16,41 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 319,6 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·5000⁴/(384·11000·13,89) = 3,196 × 10⁸ mm⁴

I_req = 319,6 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 319,6 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 4,016 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·4000 = 8000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/8000² = 4016 N = 4,016 kN

Resposta

P_cr = 4,016 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 1,919 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1,919 MPa

Resposta

σ_cr = 1,919 MPa

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