Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de cobre sob a carga axial.

P = 60 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 60 kNtrecho 1: Ø35 mm, 2 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø20 mm, 1 m, alumínio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão com 0,8 m de comprimento suporta um torque de 200 N·m. O ângulo de torção entre suas extremidades não pode passar de 1°. Encontre o menor diâmetro d que atende a esse limite.

T = 200 N·mL = 0,8 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão com diâmetro 50 mm está fixo em A. Um torque de 1500 N·m atua em B, a 3 m de A, e um torque de 2000 N·m no sentido oposto atua na extremidade livre C, 0,8 m adiante. Encontre o módulo do ângulo de torção φ_C da extremidade C, em graus.

d = 50 mmT_B = 1500 N·mT_C = 2000 N·mAB = 3 mBC = 0,8 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

25 kN @ 2 m20 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

60 kN @ 6 m6 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 200 mm × 150 mm tem um recorte retangular de 50 mm de largura e 20 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 60 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 150 mmrecorte: 50 × 20 mmcentro do furo: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −40 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = −40 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 60 MPa, σᵧ = 110 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 30° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 60 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a deflexão máxima δ_max, no meio do vão.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (alumínio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (alumínio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (alumínio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,3627 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 60·1000/706,9 = 84,88 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 84,88/117000 = 0,0007255 = 725,5 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,0007255·500 mm = 0,3627 mm

Resposta

δ = 0,3627 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 3,976 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 62,36 MPa

σ₂ = 191 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 62,36·2000/100000 = 1,247 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 191·1000/70000 = 2,728 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,976 mm

Resposta

δ = 3,976 mm

3.Torção de eixos

Resposta: d = 39,34 mm

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar necessário

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·800/(39000·0,01745) = 235060 mm⁴

Diâmetro

d = (32J/π)^1/4 = 39,34 mm

Resposta

d = 39,34 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

4.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 7,422 °

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 2000 − 1500 = 500 N·m

Torção de cada trecho

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 500000·3000/(39000·613592) = 0,06268 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·800/(39000·613592) = 0,06686 rad

Torção da extremidade C

φ_C = 0,06268 + 0,06686 = 0,1295 rad → |φ_C| = 7,422°

Resposta

φ_C = 7,422°

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 2 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 33,33 kN, R₂ = 11,67 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 33,33, M_C = 46,67 kN·m, M_D = 35, M_E = 23,33, M_F = 11,67, M_G = 0

Resposta

Marca C: M_C = 46,67 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: F (x = 5 m)

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 3 kN, R₂ = 87 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 0, M_C = −6, M_D = −18, M_E = −36, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Resposta

Marca F: M_F = −60 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 8,647 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

alma: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·115 + 2000·50)/8600 = 99,88 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 220·30³/12 + 6600·(115 − 99,88)² = 2,003 × 10⁶ mm⁴

alma: 20·100³/12 + 2000·(50 − 99,88)² = 6,643 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,003 × 10⁶ + 6,643 × 10⁶ = 8,647 × 10⁶ mm⁴ = 8,647 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 8,647 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 55,98 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (30000·75 − 1000·60)/(30000 − 1000) = 75,52 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·150³/12 + 30000·−0,5172² = 56,26 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

50·20³/12 + 1000·−15,52² = 0,2741 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 55,98 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 55,98 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = 63,43 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, −40 − 50) = 126,9°

Ângulo no elemento

θ_p = 63,43°

Resposta

θ_p = 63,43°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 37,86 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 85 + −25·0,5 + −40·0,866 = 37,86 MPa

Resposta

σ_θ = 37,86 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 66,83 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 8000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 66,83 mm

Resposta

δ_max = 66,83 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 137,1 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·8000⁴/(384·70000·22,22) = 1,371 × 10⁸ mm⁴

I_req = 137,1 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 137,1 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 6,867 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·2000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Resposta

P_cr = 6,867 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 26,99 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Resposta

σ_cr = 26,99 MPa

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