Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 40 mm, comprimento 500 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de cobre (diâmetro 60 mm, comprimento 500 mm, E = 120 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,2 mm no total.

trecho 1: aço, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 15 kNtrecho 1: Ø40 mm, 2 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 1 m, alumínio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 5 kW a 750 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,7 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 60 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 5 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 8 mw = 8 kN/m de 0 a 8 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre a distância x₀ de A até a seção onde o momento fletor é máximo.

L = 6 mw = 16 kN/m de 3 a 5 m

x₀ = m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil U está com o lado aberto para cima: uma chapa de base de 260 mm de largura com duas abas verticais, com altura total de 120 mm. Base e abas têm todas 14 mm de espessura. Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

b = 260 mmh = 120 mmt = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 110 mm de largura e 16 mm de espessura, altura total de 420 mm e alma de 10 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 50 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão σ_j na junção da alma com a mesa superior.

B = 110 mmH = 420 mmt_f = 16 mmt_w = 10 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 90 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (tração positiva). O elemento é girado 40° no sentido anti-horário. Encontre a tensão normal σ_y′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.

σ_x = 90 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um eixo maciço de diâmetro 60 mm suporta uma força axial de tração de 70 kN junto com um torque de 1500 N·m. Na superfície do eixo, encontre a maior tensão principal σ₁.

d = 60 mmF = 70 kNT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (aço)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. EI é constante. Encontre o módulo do momento fletor M_A no engaste.

L = 5 mw = 12 kN/m

M_A = kN·m

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (alumínio)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (alumínio)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 57,75 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·2827) = 1,474 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,2/3,463 × 10⁻⁶ = 57752 N = 57,75 kN

Resposta

P = 57,75 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 74,6 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 11,94 MPa

σ₂ = 74,6 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 74,6 MPa

Resposta

σ_max = 74,6 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 5,699 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(80000·251327) = 0,09947 rad

φ = 0,09947·180/π = 5,699°

Resposta

φ = 5,699°

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 19,23 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·60·0,7599)) = 19,23 mm

d_i = 0,7·19,23 = 13,46 mm

Resposta

d_o = 19,23 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 17,55 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 63 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·8·4

R_B = 256/8 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

Corte em x = 3,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 32·3,5 − 8·3,5·1,75 = 63 kN·m

Resposta

M_x = 63 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: x₀ = 3,667 m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 16·2 = 32 kN, atuando em x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 16·2·4

R_B = 128/6 = 21,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 21,33 = 10,67 kN

Cortante nulo

O esforço cortante começa em R_A, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 10,67/16 = 3,667 m

Resposta

x₀ = 3,667 m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 8,724 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em retângulos

Tome a base com a largura total e as duas abas acima dela (altura h − t), para que nada seja contado duas vezes.

base: A₁ = 260·14 = 3640 mm², y₁ = 7 mm

duas abas: A₂ = 2·14·106 = 2968 mm², y₂ = 14 + 106/2 = 67 mm

Centroide

ȳ = (3640·7 + 2968·67)/6608 = 33,95 mm

Teorema dos eixos paralelos

base: 260·14³/12 + 3640·(7 − 33,95)² = 2,703 × 10⁶ mm⁴

duas abas: 2·14·106³/12 + 2968·(67 − 33,95)² = 6,021 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,703 × 10⁶ + 6,021 × 10⁶

I_x = 8,724 × 10⁶ mm⁴ = 8,724 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 8,724 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_j = 50,42 MPa

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 420 − 2·16 = 388 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·420³ − 100·388³)/12

I_x = 1,924 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

y = 210 − 16 = 194 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·194/1,924 × 10⁸ = 50,42 MPa

Resposta

σ_j = 50,42 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_y′ = 62,95 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação para a face y′

σ_y′ = 25 − 65·0,1736 − (−50)·0,9848 = 62,95 MPa

Verificação

A soma das tensões normais não muda com a rotação.

σ_x′ = −12,95 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 50 = σ_x + σ_y

Resposta

σ_y′ = 62,95 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ₁ = 49,85 MPa

Tensões na superfície

σ = F/A = 70000/(π·60²/4) = 70000/2827 = 24,76 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·60³) = 35,37 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 12,38 MPa

R = √(12,38² + 35,37²) = 37,47 MPa

σ₁ = C + R = 49,85 MPa

σ₂ = C − R = −25,09 MPa

Resposta

σ₁ = 49,85 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 23,82 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·1,7 × 10¹²) = 23,82 mm

Resposta

δ = 23,82 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: M_A = 37,5 kN·m

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·5/8 = 22,5 kN

Momento no engaste

Momentos em relação a A das cargas e da força do apoio.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 150 − 112,5 = 37,5 kN·m

Resposta

M_A = 37,5 kN·m

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 347,3 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347,3 kN

Resposta

P_cr = 347,3 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 69,09 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Resposta

σ_cr = 69,09 MPa

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