Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de latão sob a carga axial.

P = 65 kNd = 12 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 95 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1,5 m, latão (E = 100 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 0,5 m, aço (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 750 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão com diâmetro 40 mm está fixo em A. Um torque de 1500 N·m atua em B, a 1 m de A, e um torque de 100 N·m no sentido oposto atua na extremidade livre C, 1,5 m adiante. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

d = 40 mmT_B = 1500 N·mT_C = 100 N·mAB = 1 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 1,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mw = 6 kN/m de 0 a 6 mx = 1,5 m

V_x = kN

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão e uma carga concentrada P. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 5 mP = 20 kN em 4 mw = 3 kN/m de 0 a 5 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I soldado tem mesa superior de 180 × 10 mm, alma de 170 mm de altura e 8 mm de espessura, e mesa inferior de 260 × 18 mm (largura × espessura). Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

mesa superior: 180 × 10 mmalma: 8 × 170 mmmesa inferior: 260 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = 20 MPa, com σ_z = 0. Encontre a tensão de cisalhamento máxima absoluta τ_abs no ponto (considerando todos os planos em três dimensões).

σ_x = −50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −80 MPa, σᵧ = 10 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). O material tem tensão de escoamento de 420 MPa. Encontre o fator de segurança n contra o escoamento pelo critério de von Mises (energia de distorção).

σ_x = −80 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alumínio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 150 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/300. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 2,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 150 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (aço)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Ele deve suportar 135 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 135 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 5,747 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 65·1000/113,1 = 574,7 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for latão = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 574,7/100000 = 0,005747 = 5747 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,005747·1000 mm = 5,747 mm

Resposta

δ = 5,747 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 5,003 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 840 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 193,5·1500/100000 = 2,903 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 840·500/200000 = 2,1 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,003 mm

Resposta

δ = 5,003 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 2,189 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(80000·613592) = 0,0382 rad

φ = 0,0382·180/π = 2,189°

Resposta

φ = 2,189°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 111,4 MPa

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 1500 = −1400 N·m

Tensão de cisalhamento máxima

O trecho com o maior torque interno tem a maior tensão (mesmo diâmetro).

|T|_max = 1400 N·m

τ_max = 16·1,4 × 10⁶/(π·40³) = 111,4 MPa

Resposta

τ_max = 111,4 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = 9 kN

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Corte em x = 1,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 18 − 6·1,5 = 9 kN

Resposta

V_x = 9 kN

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 22,04 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·4 + 3·5·2,5

R_B = 117,5/5 = 23,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 23,5 = 11,5 kN

Onde V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 11,5/3 = 3,833 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 11,5·3,833 − 3·3,833²/2 = 22,04 kN·m

Resposta

M_max = 22,04 kN·m

Ele ocorre em x = 3,833 m a partir de A.

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 12,5 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

alma: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·172,5 + 1600·80)/4600 = 140,3 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 120·25³/12 + 3000·(172,5 − 140,3)² = 3,262 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·160³/12 + 1600·(80 − 140,3)² = 9,236 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,262 × 10⁶ + 9,236 × 10⁶ = 1,25 × 10⁷ mm⁴ = 12,5 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 12,5 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 49,5 × 10⁶ mm⁴

Divida em três retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa superior: A = 1800 mm², y = 193 mm

alma: A = 1360 mm², y = 103 mm

mesa inferior: A = 4680 mm², y = 9 mm

Centroide

ȳ = (1800·193 + 1360·103 + 4680·9)/7840 = 67,55 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa superior: 180·10³/12 + 1800·125,4² = 2,834 × 10⁷ mm⁴

alma: 8·170³/12 + 1360·35,45² = 4,984 × 10⁶ mm⁴

mesa inferior: 260·18³/12 + 4680·58,55² = 1,617 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,834 × 10⁷ + 4,984 × 10⁶ + 1,617 × 10⁷

I_x = 4,95 × 10⁷ mm⁴ = 49,5 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 49,5 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_abs = 35 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Em três dimensões a tensão de cisalhamento máxima absoluta é (σ_max − σ_min)/2 considerando as três tensões principais; no estado plano de tensão a terceira é zero.

Tensões principais no plano

C = −50 MPa, R = √(0² + 20²) = 20 MPa

σ₁ = −30 MPa, σ₂ = −70 MPa, σ_z = 0

O maior dos três círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(40, 30, 70)/2 = 35 MPa

Resposta

τ_abs = 35 MPa

Aqui o círculo fora do plano governa: o máximo absoluto é maior que o máximo no plano R.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: n = 3,122

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = −35 MPa, R = 75 MPa

σ₁ = 40 MPa, σ₂ = −110 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(40² − 40·(−110) + (−110)²) = 134,5 MPa

n = 420/134,5 = 3,122

Resposta

n = 3,122

n > 1 significa que o ponto não escoa; Tresca é um pouco mais conservador que von Mises.

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 7,232 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 8·3000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 7,232 mm

Resposta

δ = 7,232 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 248,5 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·6000⁴/(384·11000·20) = 1,918 × 10⁸ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·1,918 × 10⁸/150)^1/3 = 248,5 mm

Resposta

h_req = 248,5 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 62,01 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62,01 kN

Resposta

P_cr = 62,01 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 50,04 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 50,04 mm

Resposta

d = 50,04 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 119,9, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials