Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de cobre sob a carga axial.

P = 80 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

Uma haste de aço (diâmetro 25 mm, E = 200 GPa, tensão admissível 120 MPa) está dentro de um tubo de cobre (diâmetro externo 100 mm, diâmetro interno 60 mm, E = 120 GPa, tensão admissível 70 MPa). Eles são comprimidos juntos entre placas rígidas. Encontre a maior carga P_max.

barra: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatubo: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 75 kW a 1500 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 60 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 75 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o esforço cortante V_x na seção x = 9,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mw = 10 kN/m de 0 a 10 mx = 9,5 m

V_x = kN

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

15 kN @ 0 m40 kN @ 12 m35 kN @ 6 m12 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 15 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mmM = 15 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 90 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = 90 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um eixo maciço de diâmetro 25 mm suporta uma força axial de tração de 50 kN junto com um torque de 500 N·m. Na superfície do eixo, encontre a maior tensão principal σ₁.

d = 25 mmF = 50 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a rotação θ_A da viga no apoio A, em radianos.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 16 kNw = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (aço)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (aço)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 8,502 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 80·1000/201,1 = 397,9 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 397,9/117000 = 0,003401 = 3401 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,003401·2500 mm = 8,502 mm

Resposta

δ = 8,502 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: P_max = 409,1 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·5027 = 7,014 × 10⁸ N

Deformação governante

ε = min(0,0006, 0,0005833) = 0,0005833 (cobre)

Maior carga

P_max = 0,0005833·7,014 × 10⁸ = 409127 N = 409,1 kN

Resposta

P_max = 409,1 kN

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 13,86 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(26000·79522) = 0,2418 rad

φ = 0,2418·180/π = 13,86°

Resposta

φ = 13,86°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 34,35 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·60)) = 34,35 mm

Resposta

d = 34,35 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: V_x = −45 kN

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Corte em x = 9,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

V = R_A − (todas as cargas para baixo à esquerda do corte)

V_x = 50 − 10·9,5 = −45 kN

Resposta

V_x = −45 kN

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 41 kN, R₂ = 121 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −2, M_D = −22, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = −160 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 55,96 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

alma: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·307,5 + 2400·150)/6600 = 250,2 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·15³/12 + 4200·(307,5 − 250,2)² = 1,386 × 10⁷ mm⁴

alma: 8·300³/12 + 2400·(150 − 250,2)² = 4,211 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,386 × 10⁷ + 4,211 × 10⁷ = 5,596 × 10⁷ mm⁴ = 55,96 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 55,96 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 81,7 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

alma: A_w = 8·120 = 960 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·125 + 960·60)/3560 = 107,5 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 260·10³/12 + 2600·(125 − 107,5)² = 820475 mm⁴

alma: 8·120³/12 + 960·(60 − 107,5)² = 3,315 × 10⁶ mm⁴

I_x = 820475 + 3,315 × 10⁶ = 4,136 × 10⁶ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 130 − 107,5 = 22,53 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·22,53/4,136 × 10⁶ = 81,7 MPa

Resposta

σ_topo = 81,7 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 76,32 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((90 − −40)/2)² + 40²) = 76,32 MPa

Resposta

τ_max = 76,32 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ₁ = 221,7 MPa

Tensões na superfície

σ = F/A = 50000/(π·25²/4) = 50000/490,9 = 101,9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 50,93 MPa

R = √(50,93² + 163²) = 170,7 MPa

σ₁ = C + R = 221,7 MPa

σ₂ = C − R = −119,8 MPa

Resposta

σ₁ = 221,7 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: θ_A = 0,01184 rad

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). A rotação θ = dv/dx é a primeira integral de M/(EI); em unidades consistentes ela sai em radianos.

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Rotação na extremidade

θ_A = wL³/(24EI) = 4·5000³/(24·1,76 × 10¹²) = 0,01184 rad

Resposta

θ_A = 0,01184 rad

Isso equivale a 0,6782°.

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 16,47 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 16000 N, w = 2 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 16000·4000³/(48·1,7 × 10¹²) = 12,55 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 3,922 mm

Some

δ_max = 12,55 + 3,922 = 16,47 mm

Resposta

δ_max = 16,47 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 51,56 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/3500² = 51564 N = 51,56 kN

Resposta

P_cr = 51,56 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 7,896 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/5 = 500

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Resposta

σ_cr = 7,896 MPa

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