Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 25 mm, comprimento 600 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de bronze (diâmetro 40 mm, comprimento 400 mm, E = 110 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,5 mm no total.

trecho 1: aço, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPatrecho 2: bronze, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 25 mm, comprimento 500 mm, E = 200 GPa) e um trecho de latão (diâmetro 30 mm, comprimento 200 mm, E = 100 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 30 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPatrecho 2: latão, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 20 kW a 3000 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 75 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 20 kWN = 3000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

45 kN @ 1 m25 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

30 kN @ 6 m40 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 50 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 50 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = −50 MPa, σᵧ = 110 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (tração positiva). O elemento é girado 25° no sentido anti-horário. Encontre a tensão normal σ_y′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.

σ_x = −50 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um eixo maciço de diâmetro 60 mm suporta um momento fletor de 750 N·m junto com um torque de 500 N·m. Na superfície superior, onde a tensão de flexão é de tração e máxima, encontre a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

d = 60 mmM = 750 N·mT = 500 N·m

τ_max = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (aço)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 100 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/300. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 2,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 100 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 70 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 70 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 55,52 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1257) = 2,894 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,5/9,005 × 10⁻⁶ = 55523 N = 55,52 kN

Resposta

P = 55,52 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 27,28 MPa

Rigidezes

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 100000·706,9/200 = 353429 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 30000·353429/549779 = 19286 N

Tensão

σ₂ = 19286/706,9 = 27,28 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 27,28 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 13,86 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(39000·79522) = 0,2418 rad

φ = 0,2418·180/π = 13,86°

Resposta

φ = 13,86°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 16,29 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 20000/314,2 = 63,66 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·75)) = 16,29 mm

Resposta

d = 16,29 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 3 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 50 kN, R₂ = 20 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 50, M_C = 55, M_D = 60 kN·m, M_E = 40, M_F = 20, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 60 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: F (x = 5 m)

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 26 kN, R₂ = 44 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 26, M_C = 12, M_D = −2, M_E = −16, M_F = −30 kN·m, M_G = 0

Resposta

Marca F: M_F = −30 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 16,85 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

alma: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·172,5 + 1920·80)/7920 = 150,1 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 240·25³/12 + 6000·(172,5 − 150,1)² = 3,33 × 10⁶ mm⁴

alma: 12·160³/12 + 1920·(80 − 150,1)² = 1,352 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,33 × 10⁶ + 1,352 × 10⁷ = 1,685 × 10⁷ mm⁴ = 16,85 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 16,85 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 77,41 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

alma: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·267,5 + 4160·130)/7160 = 187,6 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 200·15³/12 + 3000·(267,5 − 187,6)² = 1,92 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·260³/12 + 4160·(130 − 187,6)² = 3,724 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,92 × 10⁷ + 3,724 × 10⁷ = 5,644 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 275 − 187,6 = 87,39 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·87,39/5,644 × 10⁷ = 77,41 MPa

Resposta

σ_topo = 77,41 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_y′ = 43,12 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação para a face y′

σ_y′ = 30 − (−80)·0,6428 − 50·0,766 = 43,12 MPa

Verificação

A soma das tensões normais não muda com a rotação.

σ_x′ = 16,88 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 60 = σ_x + σ_y

Resposta

σ_y′ = 43,12 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 21,25 MPa

Tensões na superfície

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·60³) = 35,37 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·60³) = 11,79 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 17,68 MPa

R = √(17,68² + 11,79²) = 21,25 MPa

Resposta

τ_max = 21,25 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 1,786 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 1,786 mm

Resposta

δ = 1,786 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 237 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16,67 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·5000⁴/(384·11000·16,67) = 1,11 × 10⁸ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·1,11 × 10⁸/100)^1/3 = 237 mm

Resposta

h_req = 237 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 12,59 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/3500² = 12589 N = 12,59 kN

Resposta

P_cr = 12,59 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 84,92 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 84,92 mm

Resposta

d = 84,92 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 282,6, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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