Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 30 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de latão (diâmetro externo 80 mm, diâmetro interno 50 mm, E = 100 GPa). Ambos têm 500 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 150 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 150 kNbarra: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 60 kNtrecho 1: Ø25 mm, 0,5 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 1 m, alumínio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 250 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de aço com diâmetro 60 mm está fixo em A. Um torque de 200 N·m atua em B, a 1 m de A, e um torque de 250 N·m no sentido oposto atua na extremidade livre C, 2,5 m adiante. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

d = 60 mmT_B = 200 N·mT_C = 250 N·mAB = 1 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

35 kN @ 3 m10 kN/m, 2–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

35 kN @ 0 m15 kN @ 6 m55 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma seção retangular vazada (caixão) tem largura externa B = 160 mm, altura externa H = 250 mm e espessura de parede uniforme t = 18 mm. Encontre seu raio de giração r em relação ao eixo centroidal horizontal.

B = 160 mmH = 250 mmt = 18 mm

r = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 15 kN·m. Encontre a tensão de flexão σ_base na borda inferior.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mmM = 15 kN·m

σ_base = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 20 MPa, σᵧ = −30 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = 20 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um eixo maciço de diâmetro 60 mm suporta uma força axial de tração de 70 kN junto com um torque de 1000 N·m. Na superfície do eixo, encontre a maior tensão principal σ₁.

d = 60 mmF = 70 kNT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 1,5 m de A. Encontre a deflexão δ_B na extremidade livre B.

P = 25 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 70 GPa (alumínio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 1 m do apoio B. Encontre a deflexão δ_mid no meio do vão.

P = 8 kNb = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (alumínio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 140 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 140 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,1675 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·3063 = 4,477 × 10⁸ N

Encurtamento

δ = 150000·500/4,477 × 10⁸ = 0,1675 mm

Resposta

δ = 0,1675 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 7,884 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 122,2 MPa

σ₂ = 530,5 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 122,2·500/200000 = 0,3056 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 530,5·1000/70000 = 7,579 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,884 mm

Resposta

δ = 7,884 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 14,37 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(39000·38350) = 0,2507 rad

φ = 0,2507·180/π = 14,37°

Resposta

φ = 14,37°

4.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 5,895 MPa

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 200 = 50 N·m

Tensão de cisalhamento máxima

O trecho com o maior torque interno tem a maior tensão (mesmo diâmetro).

|T|_max = 250 N·m

τ_max = 16·250000/(π·60³) = 5,895 MPa

Resposta

τ_max = 5,895 MPa

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 3 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 30 kN, R₂ = 35 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 60, M_D = 85 kN·m, M_E = 65, M_F = 35, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 85 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: B (x = 1 m)

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 67,5 kN, R₂ = 37,5 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = −35 kN·m, M_C = −2,5, M_D = 30, M_E = 7,5, M_F = −15, M_G = 0

Resposta

Marca B: M_B = −35 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: r = 89,17 mm

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada. O raio de giração r = √(I/A) é a distância na qual toda a área daria o mesmo I; ele é usado na flambagem de pilares.

Área e momento de inércia líquidos

b = 124 mm, h = 214 mm

A = BH − bh = 160·250 − 124·214 = 13464 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,071 × 10⁸ mm⁴

Raio de giração

r = √(I/A) = √(1,071 × 10⁸/13464) = 89,17 mm

Resposta

r = 89,17 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_base = 170,7 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

alma: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·170 + 1600·80)/5200 = 142,3 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 180·20³/12 + 3600·(170 − 142,3)² = 2,881 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·160³/12 + 1600·(80 − 142,3)² = 9,625 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,881 × 10⁶ + 9,625 × 10⁶ = 1,251 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda inferior está a ȳ do eixo.

y = 142,3 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·142,3/1,251 × 10⁷ = 170,7 MPa

Resposta

σ_base = 170,7 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = 10,9 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 20 − −30) = 21,8°

Ângulo no elemento

θ_p = 10,9°

Resposta

θ_p = 10,9°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ₁ = 39,01 MPa

Tensões na superfície

σ = F/A = 70000/(π·60²/4) = 70000/2827 = 24,76 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·60³) = 23,58 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 12,38 MPa

R = √(12,38² + 23,58²) = 26,63 MPa

σ₁ = C + R = 39,01 MPa

σ₂ = C − R = −14,25 MPa

Resposta

σ₁ = 39,01 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_B = 3,767 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 25000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 2,511 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002511 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3,767 mm

Resposta

δ_B = 3,767 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_mid = 2,063 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 8000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Deflexão no meio do vão

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 8000·1000·(3·6000² − 4·1000²)/(48·8,4 × 10¹²) = 2,063 mm

Resposta

δ_mid = 2,063 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 224,2 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1400² = 224242 N = 224,2 kN

Resposta

P_cr = 224,2 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 42,25 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 42,25 mm

Resposta

d = 42,25 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 99,41, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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