Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de latão sob a carga axial.

P = 65 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 45 kNtrecho 1: Ø30 mm, 1,5 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão transmite 10 kW a 500 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 50 MPa e a torção não pode passar de 0,75° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 2 m de A. Encontre o momento fletor M_A no engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 2,5 mP = 15 kN em 2 mw = 2 kN/m de 0 a 2,5 m

M_A = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

20 kN @ 0 m50 kN @ 12 m60 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 150 mm × 150 mm tem um recorte retangular de 60 mm de largura e 30 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 60 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 150 mmrecorte: 60 × 30 mmcentro do furo: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 50 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = 50 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 100 MPa, σᵧ = 10 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 20° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 100 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 4 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 19 kNa = 4 mL = 6 mE = 70 GPa (alumínio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 75 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/360. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 1 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 75 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (aço)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Ele deve suportar 140 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 140 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 11,49 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 65·1000/113,1 = 574,7 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for latão = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 574,7/100000 = 0,005747 = 5747 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,005747·2000 mm = 11,49 mm

Resposta

δ = 11,49 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 6,465 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·1500/70000 = 1,364 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 397,9·1500/117000 = 5,101 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,465 mm

Resposta

δ = 6,465 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 14,78 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(39000·79522) = 0,258 rad

φ = 0,258·180/π = 14,78°

Resposta

φ = 14,78°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 44,18 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·50)) = 26,89 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 44,18 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(26,89, 44,18) = 44,18 mm

Resposta

d = 44,18 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_A = −36,25 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Fique com a parte da extremidade livre

P: −15·2 = −30 kN·m

w: −2·2,5²/2 = −6,25 kN·m

M_A = −30 − 6,25 = −36,25 kN·m

Resposta

M_A = −36,25 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 13,33 kN, R₂ = 116,7 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = −40, M_C = −53,33, M_D = −66,67, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = −200 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 51,92 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

alma: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·265 + 4680·130)/6680 = 170,4 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 200·10³/12 + 2000·(265 − 170,4)² = 1,791 × 10⁷ mm⁴

alma: 18·260³/12 + 4680·(130 − 170,4)² = 3,401 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,791 × 10⁷ + 3,401 × 10⁷ = 5,192 × 10⁷ mm⁴ = 51,92 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 51,92 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 41,61 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (22500·75 − 1800·60)/(22500 − 1800) = 76,3 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·150³/12 + 22500·−1,304² = 42,23 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

60·30³/12 + 1800·−16,3² = 0,6135 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 41,61 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 41,61 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −29,52 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 50 − −10) = −59,04°

Ângulo no elemento

θ_p = −29,52°

Resposta

θ_p = −29,52°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 76,62 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 55 + 45·0,766 + −20·0,6428 = 76,62 MPa

Resposta

σ_θ = 76,62 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 41,96 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 19000 N, a = 4000 mm, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 19000·4000²·2000²/(3·1,61 × 10¹²·6000) = 41,96 mm

Resposta

δ_P = 41,96 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 183,8 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·4500⁴/(384·11000·12,5) = 3,883 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·3,883 × 10⁷/75)^1/3 = 183,8 mm

Resposta

h_req = 183,8 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 11,42 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/3000² = 11423 N = 11,42 kN

Resposta

P_cr = 11,42 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 98,17 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 98,17 mm

Resposta

d = 98,17 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 122,2, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials