Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 30 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de bronze (diâmetro externo 100 mm, diâmetro interno 50 mm, E = 110 GPa). Ambos têm 400 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 80 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 80 kNbarra: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre a maior tensão normal σ_max na barra.

P = 35 kNtrecho 1: Ø25 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 1 m, alumínio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo vazado de latão (diâmetro externo 40 mm, diâmetro interno 28 mm, comprimento 1,5 m) está fixo em uma extremidade e é torcido por um torque de 500 N·m na outra. Encontre o ângulo de torção φ em graus.

T = 500 N·md_o = 40 mmd_i = 28 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão com diâmetro 50 mm está fixo em A. Um torque de 1500 N·m atua em B, a 0,8 m de A, e um torque de 1000 N·m no mesmo sentido atua na extremidade livre C, 2,5 m adiante. Encontre o módulo do ângulo de torção φ_C da extremidade C, em graus.

d = 50 mmT_B = 1500 N·mT_C = 1000 N·mAB = 0,8 mBC = 2,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 4 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mw = 6 kN/m de 0 a 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1,5 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre o momento fletor M_B no apoio B. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 9,5 mw = 6 kN/m de 0 a 9,5 mapoios em x = 0 e x = 8 m

M_B = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 50 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mmM = 50 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 10 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 140 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 50° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = 140 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a rotação θ_A da viga no apoio A, em radianos.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (aço)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 24 kNw = 6 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (aço)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Ele deve suportar 25 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 25 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,04054 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·5890 = 7,893 × 10⁸ N

Encurtamento

δ = 80000·400/7,893 × 10⁸ = 0,04054 mm

Resposta

δ = 0,04054 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ_max = 174,1 MPa

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 71,3 MPa

σ₂ = 174,1 MPa

Maior tensão

O trecho mais fino tem a menor área, então suporta a maior tensão.

σ_max = 174,1 MPa

Resposta

σ_max = 174,1 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 5,769 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Ângulo de torção

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·1500/(39000·190984) = 0,1007 rad

φ = 0,1007·180/π = 5,769°

Resposta

φ = 5,769°

4.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 10,77 °

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1000 + 1500 = 2500 N·m

Torção de cada trecho

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 2,5 × 10⁶·800/(39000·613592) = 0,08358 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·2500/(39000·613592) = 0,1045 rad

Torção da extremidade C

φ_C = 0,08358 + 0,1045 = 0,188 rad → |φ_C| = 10,77°

Resposta

φ_C = 10,77°

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 24 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Corte em x = 4 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 18·4 − 6·4·2 = 24 kN·m

Resposta

M_x = 24 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_B = −6,75 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·9,5 = 57 kN, atuando em x̄ = 4,75 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·9,5·4,75

R_B = 270,8/8 = 33,84 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 33,84 = 23,16 kN

Corte em B e fique com o balanço

A carga no balanço, w·a, atua a a/2 de B e gera momento negativo sobre o apoio.

M_B = −w·a²/2 = −6·1,5²/2 = −6,75 kN·m

Resposta

M_B = −6,75 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 29,47 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

alma: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·245 + 2400·120)/4600 = 179,8 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 220·10³/12 + 2200·(245 − 179,8)² = 9,376 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·240³/12 + 2400·(120 − 179,8)² = 2,01 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,376 × 10⁶ + 2,01 × 10⁷ = 2,947 × 10⁷ mm⁴ = 29,47 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 29,47 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 234,3 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

alma: A_w = 10·100 = 1000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·110 + 1000·50)/6600 = 100,9 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 280·20³/12 + 5600·(110 − 100,9)² = 649477 mm⁴

alma: 10·100³/12 + 1000·(50 − 100,9)² = 3,425 × 10⁶ mm⁴

I_x = 649477 + 3,425 × 10⁶ = 4,075 × 10⁶ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 120 − 100,9 = 19,09 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·19,09/4,075 × 10⁶ = 234,3 MPa

Resposta

σ_topo = 234,3 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −37,98 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 10 − −20) = −75,96°

Ângulo no elemento

θ_p = −37,98°

Resposta

θ_p = −37,98°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 98,72 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 130 + 10·−0,1736 + −30·0,9848 = 98,72 MPa

Resposta

σ_θ = 98,72 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: θ_A = 0,003137 rad

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). A rotação θ = dv/dx é a primeira integral de M/(EI); em unidades consistentes ela sai em radianos.

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Rotação na extremidade

θ_A = wL³/(24EI) = 2·4000³/(24·1,7 × 10¹²) = 0,003137 rad

Resposta

θ_A = 0,003137 rad

Isso equivale a 0,1798°.

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 2,362 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 24000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 24000·2500³/(48·4,6 × 10¹²) = 1,698 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 0,6634 mm

Some

δ_max = 1,698 + 0,6634 = 2,362 mm

Resposta

δ_max = 2,362 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 11,79 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·5000 = 5000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/5000² = 11791 N = 11,79 kN

Resposta

P_cr = 11,79 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 49,28 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·25000 = 50000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 49,28 mm

Resposta

d = 49,28 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 162,3, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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