Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 600 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de cobre (diâmetro 30 mm, comprimento 500 mm, E = 120 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,2 mm no total.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 40 mm, comprimento 500 mm, E = 200 GPa) e um trecho de bronze (diâmetro 60 mm, comprimento 400 mm, E = 110 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 60 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPatrecho 2: bronze, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio com 1,2 m de comprimento suporta um torque de 1500 N·m. O ângulo de torção entre suas extremidades não pode passar de 1,5°. Encontre o menor diâmetro d que atende a esse limite.

T = 1500 N·mL = 1,2 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão transmite 75 kW a 750 rpm. A tensão de cisalhamento não pode passar de 40 MPa e a torção não pode passar de 0,25° por m de comprimento. Encontre o menor diâmetro d que atende aos dois limites.

P = 75 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M₀ = 45 kN·m em x = 4 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor M_x logo à direita do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mM₀ = 45 kN·m no sentido horário, em 4 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 8,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mP = 55 kN em 5 mw = 8 kN/m de 0 a 10 mx = 8,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 150 mm × 300 mm tem um recorte retangular de 50 mm de largura e 50 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 90 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 300 mmrecorte: 50 × 50 mmcentro do furo: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = −10 MPa, com σ_z = 0. Encontre a tensão de cisalhamento máxima absoluta τ_abs no ponto (considerando todos os planos em três dimensões).

σ_x = 90 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −80 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 20° no sentido horário a partir do eixo x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 1 m de A. Encontre a deflexão δ_B na extremidade livre B.

P = 2 kNa = 1 mL = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 75 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/300. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 4 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 75 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (alumínio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 12,95 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·706,9) = 5,895 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,2/1,544 × 10⁻⁵ = 12950 N = 12,95 kN

Resposta

P = 12,95 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 12,89 MPa

Rigidezes

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 110000·2827/400 = 777544 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 60000·777544/1,28 × 10⁶ = 36442 N

Tensão

σ₂ = 36442/2827 = 12,89 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 12,89 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: d = 72,04 mm

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar necessário

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·1200/(26000·0,02618) = 2,644 × 10⁶ mm⁴

Diâmetro

d = (32J/π)^1/4 = 72,04 mm

Resposta

d = 72,04 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

4.Torção de eixos

Resposta: d = 86,95 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Diâmetro pela resistência

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·40)) = 49,54 mm

Diâmetro pela rigidez

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 86,95 mm

Diâmetro determinante

Os dois limites devem ser atendidos, então o maior diâmetro governa.

d = max(49,54, 86,95) = 86,95 mm

Resposta

d = 86,95 mm

Aqui a rigidez governa.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 15 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.

Reações de apoio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: R_B·L − M₀ = 0. Equilíbrio vertical: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 45/6 = 7,5 kN (para cima)

R_A = −R_B = −7,5 kN (para baixo)

Corte logo à direita do binário

A parte esquerda agora contém R_A e o binário.

M_x = R_A·a + M₀ = −7,5·4 + 45 = 15 kN·m

Resposta

M_x = 15 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 92,25 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·5 + 8·10·5

R_B = 675/10 = 67,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 67,5 = 67,5 kN

Corte em x = 8,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 67,5·8,5 − 55·(8,5 − 5) − 8·8,5·4,25 = 92,25 kN·m

Resposta

M_x = 92,25 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 21,03 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

alma: A_w = 20·160 = 3200 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·175 + 3200·80)/6200 = 126 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 100·30³/12 + 3000·(175 − 126)² = 7,437 × 10⁶ mm⁴

alma: 20·160³/12 + 3200·(80 − 126)² = 1,359 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,437 × 10⁶ + 1,359 × 10⁷ = 2,103 × 10⁷ mm⁴ = 21,03 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 21,03 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 327,4 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (45000·150 − 2500·90)/(45000 − 2500) = 153,5 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·300³/12 + 45000·−3,529² = 338,1 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

50·50³/12 + 2500·−63,53² = 10,61 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 327,4 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 327,4 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_abs = 61,51 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Em três dimensões a tensão de cisalhamento máxima absoluta é (σ_max − σ_min)/2 considerando as três tensões principais; no estado plano de tensão a terceira é zero.

Tensões principais no plano

C = 105 MPa, R = √((−15)² + (−10)²) = 18,03 MPa

σ₁ = 123 MPa, σ₂ = 86,97 MPa, σ_z = 0

O maior dos três círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(36,06, 123, 86,97)/2 = 61,51 MPa

Resposta

τ_abs = 61,51 MPa

Aqui o círculo fora do plano governa: o máximo absoluto é maior que o máximo no plano R.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = −54,86 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 0 + −80·0,766 + −10·−0,6428 = −54,86 MPa

Resposta

σ_θ = −54,86 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_B = 3,641 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 2000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,12 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001681 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3,641 mm

Resposta

δ_B = 3,641 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 213,6 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3500⁴/(384·11000·11,67) = 6,09 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·6,09 × 10⁷/75)^1/3 = 213,6 mm

Resposta

h_req = 213,6 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 7,197 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·2500 = 2500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/2500² = 7197 N = 7,197 kN

Resposta

P_cr = 7,197 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 35,25 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/20 = 140

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Resposta

σ_cr = 35,25 MPa

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