Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal
σ = F/A
Deformação
ε = ΔL/L
Lei de Hooke
σ = E·ε
Alongamento
ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica
εT = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento
τ = T·r/J
Eixo maciço
J = πd⁴/32
Eixo vazado
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção
φ = TL/(GJ)
Potência
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
  2. Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
  3. Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
  4. Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento
V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão
σ = M·y/I
Retângulo
I = bh³/12
Módulo de resistência
W = I/ymax
Viga biapoiada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
  2. Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
  3. Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
  4. Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Retângulo
I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos
I = Ic + A·d²
Seção composta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro
C = (σx + σy)/2
Raio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensões principais
σ1,2 = C ± R
Direção principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
  4. Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta
δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposição
δ = δ1 + δ2

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia
Ø 25 mmCobre3 mP = 100 kN

Encontre o alongamento δ da barra de cobre sob a carga axial.

P = 100 kNd = 25 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Tensão e deformação axialDifícil
P = ?Ø20100 GPaØ120/60500 mm

Uma haste de aço (diâmetro 20 mm, E = 200 GPa, tensão admissível 200 MPa) está dentro de um tubo de latão (diâmetro externo 120 mm, diâmetro interno 60 mm, E = 100 GPa, tensão admissível 50 MPa). Eles são comprimidos juntos entre placas rígidas. Encontre a maior carga Pmax.

barra: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPatubo: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.Torção de eixosMédia
T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torção de eixosDifícil
d = 50 mmTB​ = 200 N·mTC​ = 200 N·mABC2,5 m3 m

Um eixo maciço de latão com diâmetro 50 mm está fixo em A. Um torque de 200 N·m atua em B, a 2,5 m de A, e um torque de 200 N·m no mesmo sentido atua na extremidade livre C, 3 m adiante. Encontre o módulo do ângulo de torção φC da extremidade C, em graus.

d = 50 mmTB = 200 N·mTC = 200 N·mAB = 2,5 mBC = 3 mG = 39 GPa
φC = °
5.Esforço cortante e momento fletorMédia
M0​ = 10 kN·mAB1,5 m3,5 m

A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M0 = 10 kN·m em x = 1,5 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor Mx logo à esquerda do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mM0 = 10 kN·m no sentido horário, em 1,5 m
Mx = kN·m
6.Esforço cortante e momento fletorDifícil
w = 4 kN/mAB1 m5 m

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre a distância x0 de A até a seção onde o momento fletor é máximo.

L = 6 mw = 4 kN/m de 1 a 6 m
x0 = m
7.Centroide e momento de inérciaMédia
1403028010xdimensões em mm

Encontre o momento de inércia Ix da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

bf = 140 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide e momento de inérciaDifícil
200 mm150 mm45 mm40 × 30xIx​ = ?

Uma placa de 200 mm × 150 mm tem um recorte retangular de 40 mm de largura e 30 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 45 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área Ix em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 150 mmrecorte: 40 × 30 mmcentro do furo: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia
σx​ = −30σy​ = −50τxy​ = −10MPa

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = −10 MPa, com σz = 0. Encontre a tensão de cisalhamento máxima absoluta τabs no ponto (considerando todos os planos em três dimensões).

σx = −30 MPaσy = −50 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil
σx​ = −30σy​ = −20τxy​ = −20MPa

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −30 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τθ em um plano cuja normal está girada 50° no sentido anti-horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σx = −30 MPaσy = −20 MPaτxy = −20 MPaθ = 50°
τθ = MPa
11.Deflexão da vigaMédia
P = 30 kNABδ1 m1 m

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 1 m de A. Encontre a deflexão δB na extremidade livre B.

P = 30 kNa = 1 mL = 2 mE = 70 GPa (alumínio)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Deflexão da vigaDifícil
w = 12 kN/mδL = 4 m

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia Ireq que atende a esse limite.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (madeira estrutural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Flambagem de pilaresMédia
PL = 6 m40 × 80 mmseção transversal

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (aço)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
14.Flambagem de pilaresDifícil
P = 90 kNL = 4 md = ?seção transversal

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Ele deve suportar 90 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 90 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (aço)
d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 5,224 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 100·1000/490,9 = 203,7 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 203,7/117000 = 0,001741 = 1741 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,001741·3000 mm = 5,224 mm

Resposta

δ = 5,224 mm
2.Tensão e deformação axial

Resposta: Pmax = 455,5 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, Pi = P·EiAi/ΣEA, e σi = Ei·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·8482 = 9,111 × 10⁸ N

Deformação governante

ε = min(0,001, 0,0005) = 0,0005 (latão)

Maior carga

Pmax = 0,0005·9,111 × 10⁸ = 455531 N = 455,5 kN

Resposta

Pmax = 455,5 kN
3.Torção de eixos

Resposta: φ = 2,28 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(80000·251327) = 0,03979 rad
φ = 0,03979·180/π = 2,28°

Resposta

φ = 2,28°
4.Torção de eixos

Resposta: φC = 3,831 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τmax = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(do⁴ − di⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Torques internos

Sentido de TC tomado como positivo.

TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC + TB = 200 + 200 = 400 N·m

Torção de cada trecho

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 400000·2500/(39000·613592) = 0,04179 rad
φBC = 200000·3000/(39000·613592) = 0,02507 rad

Torção da extremidade C

φC = 0,04179 + 0,02507 = 0,06686 rad → |φC| = 3,831°

Resposta

φC = 3,831°
5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: Mx = −3 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.

Reações de apoio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: RB·L − M0 = 0. Equilíbrio vertical: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 10/5 = 2 kN (para cima)
RA = −RB = −2 kN (para baixo)

Corte logo à esquerda do binário

A parte esquerda contém apenas RA.

Mx = RA·a = −2·1,5 = −3 kN·m

Resposta

Mx = −3 kN·m
6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: x0 = 3,083 m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, atuando em x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 4·5·3,5
RB = 70/6 = 11,67 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 11,67 = 8,333 kN

Cortante nulo

O esforço cortante começa em RA, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 8,333/4 = 3,083 m

Resposta

x0 = 3,083 m
7.Centroide e momento de inércia

Resposta: Ix = 58,97 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: Af = 140·30 = 4200 mm², yf = 280 + 30/2 = 295 mm
alma: Aw = 10·280 = 2800 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·295 + 2800·140)/7000 = 233 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 140·30³/12 + 4200·(295 − 233)² = 1,646 × 10⁷ mm⁴
alma: 10·280³/12 + 2800·(140 − 233)² = 4,251 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,646 × 10⁷ + 4,251 × 10⁷ = 5,897 × 10⁷ mm⁴ = 58,97 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ix = 58,97 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide e momento de inércia

Resposta: Ix = 55,03 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem Ic = bh³/12 e um círculo Ic = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (30000·75 − 1200·45)/(30000 − 1200) = 76,25 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·150³/12 + 30000·−1,25² = 56,3 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

40·30³/12 + 1200·−31,25² = 1,262 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

Ix = 55,03 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ix = 55,03 × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τabs = 27,07 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Em três dimensões a tensão de cisalhamento máxima absoluta é (σmax − σmin)/2 considerando as três tensões principais; no estado plano de tensão a terceira é zero.

σxyCσ1​σ2​

Tensões principais no plano

C = −40 MPa, R = √(10² + (−10)²) = 14,14 MPa
σ1 = −25,86 MPa, σ2 = −54,14 MPa, σz = 0

O maior dos três círculos

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(28,28, 25,86, 54,14)/2 = 27,07 MPa

Resposta

τabs = 27,07 MPa

Aqui o círculo fora do plano governa: o máximo absoluto é maior que o máximo no plano R.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τθ = 8,397 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação

τθ = −−5·0,9848 + −20·−0,1736 = 8,397 MPa

Resposta

τθ = 8,397 MPa
11.Deflexão da viga

Resposta: δB = 15,53 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 30000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δP = Pa³/(3EI) = 6,211 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,009317 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 15,53 mm

Resposta

δB = 15,53 mm
12.Deflexão da viga

Resposta: Ireq = 327,3 × 10⁶ mm⁴

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Limite de deflexão

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·4000⁴/(384·11000·11,11) = 3,273 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 327,3 × 10⁶ mm⁴

Resposta

Ireq = 327,3 × 10⁶ mm⁴
13.Flambagem de pilares

Resposta: Pcr = 23,39 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 1·6000 = 6000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/6000² = 23395 N = 23,39 kN

Resposta

Pcr = 23,39 kN
14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 115,6 mm

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em Pcr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Carga crítica necessária

Pcr = n·P = 3·90000 = 270000 N
KL = 2·4000 = 8000 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 115,6 mm

Resposta

d = 115,6 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 276,9, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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